Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
направлении и с одинаковыми фазовыми скоростями, т. е. они находятся в
синхронизме: к3 = = кг + к2. Заметим сразу же, что создать такие условия,
при которых было бы возможно указанное взаимодействие в чистом виде,-
довольно сложная проблема для нелинейной акустики (обычно наряду с
параметрическим процессом происходит эффективная генерация гармоник и
волн комбинационных частот). Мы не будем здесь обсуждать конкретные
способы, позволяющие практически осуществить эти условия, а перейдем
сразу к анализу свойств самого трехчастотного параметрического процесса.
Если искать решение уравнения Бюргерса (II. 1.10) в виде суммы трех волн:
v (х, т) = Ах (х) е1ш'т + А-г (рс) eia>lX + А3 (х) е1а>зХ + к. с.,
(VI.1.2)
где А1г А2, А3 - комплексные амплитуды, изменяющиеся по мере
распространения волн по среде как в результате
§ 1. О ТРЕХЧАСТОТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 147
взаимодействия между ними на квадратичной нелинейности, так и вследствие
диссипации, можно получить следующую систему из трех укороченных
уравнений
со
dA$ . л . . 80)з а а
^ + Мз = 1ТЛ4
со
Здесь для краткости принято: 6j = бсо?/2соРо
(/ = 1, 2, 3).
В тех случаях, когда влияние диссипации пренебрежимо мало, т. е. бх = б2
= б3 = 0, система (VI.1.3) имеет интеграл энергии. Для того чтобы
показать это, нужно умножить уравнения соответственно на AJЮц А2! (о2,
А1/оз3 и сложить их с комплексно-сопряженными выражениями. После
интегрирования получаются следующие соотношения, справедливые при любом
значении х:
= const,
= const, (VI. 1.4)
= const.
Mil* \А" |*
(01 (02
Mil2 , 1 As |*
COl СОз
_м,|* , Мзр
0)2 0)3
Умножая второе из соотношений (VI.1.4) на со1; третье - на co2 и
складывая полученные выражения, придем к закону сохранения энергии:
Ml |2 + \А2 Г + Из I* = const. (VI.1.5)
Нужно отметить, что параметрические явления могут быть наглядным образом
интерпретированы на квантовом языке как процессы расщепления
высокочастотных фононов волны накачки Ноз3 на два фонона Ноз1, На>2 более
низкой частоты. Если умножить соотношение (VI. 1.1) и условие синхронизма
на постоянную Планка %, их можно трактовать как законы сохранения энергии
и квазиимпульса при элементарном трехфононном взаимодействии.
148 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Наконец, энергетические соотношения (VI.1.4) (по аналогии с теорией
нелинейных реактивных систем с сосредоточенными параметрами их называют
соотношениями Мэнли - Роу [10]), которые удобно также представить и в
дифференциальной форме
d\A2\* d I At \* ^ d \А3 |2
COl (02 ' (01 (Оз '
dMal* d\As\* /VI.1.6)
(c)г т'
на квантовом языке могут быть переписаны так:
dN1 = dN2, dN1 = -dNs, dN2 = -dNs. (VI. 1.7)
При наличии граничных условий выражения (VI.1.6), (VI. 1.7) позволяют
оценить эффективность нелинейного взаимодействия. Если, например, на
входе в нелинейную среду задана мощная волна со3, то процесс распада со3
-> -(Ох + со2 будет преобладать над процессом слияния: C0i (r)2 (r)з- Это
означает, что знаки у приращений
dN1, dN2 будут положительные, а знак у dN3 - отрицательный. При этом
энергия, теряемая высокочастотной волной накачки, будет распределяться
между волнами сок (r)г в отношении
d 1 Al I2 = /ут 1 8)
d\A2\* иг ' '
Как показывает формула (VI.1.8), преобразование частоты "вверх"
происходит значительно эффективнее преобразования частоты "вниз", и при
СО]/со2 1 приращение
энергии низкочастотной волны мало.
Проанализируем вначале решение уравнений (VI. 1.3) в приближении
постоянного поля накачки. Полагая в (VI. 1.3) А3 = Ан = const
и переходя к действительным
амплитудам и фазам Аг = Вгвхр (г^), А2 = В2ехр (iS2),
получим следующую систему:
~ + 6гВ, + АнВ2 sin А - О,
со
4? + АцВ-l sin А = О, (VI.1.9)
о
dx
о
0.
§1.0 ТРЕХЧАСТОТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
149
Здесь А = -S1 - Sg. Из первых двух уравнений можно выразить
Подставляя эти соотношения в третье уравнение системы (VI.1.9), придем к
интегралу следующего вида:
2?i (х)В2 (x)cos Л (х) e^i+b^x = const =
В задачах о параметрическом усилении наиболее типичны такие условия на
границе, при которых в среду вводится слабый сигнал и мощная волна
накачки, а необходимая для усиления волна разностной частоты возникает
внутри самой среды. Полагая в (VI.1.11) амплитуду В2 (0) равной нулю,
можно получить cos А (ж) = = const - 0; при этом система (VI.1.9) должна
быть переписана в форме
Поскольку уравнения (VI.1.12) линейны, будем искать их решения в виде Вг
~ C^exp (gx), В2 = С2 ехр (gx). В результате получим систему из двух
однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин Clt
С2¦ Для нахождения нетривиальных решений нужно потребовать, чтобы
определитель этой системы был равен нулю:
Соотношение (VI. 1.13) позволяет определить два значения gi, g2 и
записать решение системы (VI. 1.12):
.2
О
sin Д dx
sin Д dx
1 d
1 d
In {Вie8'x),
In (B2ebic).
(VI.1.10)
= Bx (0) Вг (O)cos A (0). (VI.1.11)
(VI.1.12)
(g + Sj) (g + 62) - ^'j coico^ - 9. (VI.1.13)
