Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
А1 (t) = Bi (\it)eiast + к.с.,
А2 (0 == В2 (lit) ei2a,t + к.с. (V.3.25)
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 133
Здесь Bi и В2 - медленно изменяющиеся комплексные амплитуды первой и
второй гармоник. Сохраняя всюду члены не выше первого порядка малости,
получим
4- - к2Вг = - 1шкВ\В^
dBi dt 1 2ро
dBi,
(V.3.26)
в2
-f- Ак2В2 = - ieto/c -~ .
dt 1 2ро 4
В уравнениях (V.3.26) удобно перейти к действительным амплитудам и фазам.
Полагая для этого В\ = С1 ехр (г'бД, В2 = С2 ехр (iS2) вместо (V.3.26)
имеем следующую систему:
4^- + -4- к2Сх = - гакСхСъ sin Д,
at 2ро
dCi ' Ъ ¦ 4/c2<42 = есок Sin Д, (V.3.27)
dt 1 2ро 4
= есоА (-77^--------2С2) cos Д.
Здесь Д = 264 - ^2- Уравнения (V.3.27) образуют систему укороченных
уравнений, широко применяемую в нелинейной оптике [10]. Как известно,
получить аналитическое решение уравнений (V.3.27) при Ъ Ф 0 не удается.
Поэтому пренебрежем затуханием гармоник - положим Ь - 0. Из первых двух
уравнений (V.3.27) при этом получается интеграл энергии:
С\ (t) + 4Cl (t) = const, (V.3.28)
что естественно, так как рассматривается взаимодействие только двух мод.
Для нахождения решения удобно подставить первые два уравнения системы
(V.3.27) в третье:
(V.3.29)
Уравнение (V.3.29) легко интегрируется, что позволяет получить следующее
выражение;
С\Сг cos Д = С\ (0) Съ (0) соэД (0). (V.3.30)
134 гл. Y. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ волн
Если положить С2 (0) = 0 при t = 0, то из (V.3.30) сразу еле-
дует: cosA = 0, А = + -у -f- 2яп. Третье уравнение (V.3.27)
показывает, что для таких А производная dA./dt равна нулю, т. е. это
значение А сохраняется; Вся же система (V.3.27) для случая А = п/2 (когда
нарастание идет наиболее эффективно) приводится к виду
- - SCOкСхС2, ^ = есо/с-^- . (V.3.31)
При наличии интеграла (V.3.28) можно воспользоваться лишь одним из
уравнений (V.3.31) (например, вторым) и получить
ЛСг
~ИГ
= шк
erf (0)
Отсюда имеем
- Г2
о2
Ca(f)=
Ci (t) = Ci (0) ch-1
zkCi (0) coif
¦ zkCi
(0) co*] .
(V.3.32)
(V.3.33)
Решение (V.3.33) изображено на рис. V.12. Как видно из рисунка, при * ->-
оо происходит полная перекачка энергии во вторую гармонику. Этот
результат есть следствие нашего предположения о том, что взаимодействуют
только две моды. На самом же деле, если не принять специально мер для
подавления высших гармоник, закон нарастания C2(t) будет иметь более
сложный вид, чем в (V.3.33). Полученное решение также справедливо для
небольших отрезков времени, пока С2 <С Сх.
Тем не менее решение (V.3.33) позволяет оценить характерное время
изменения С2 (*), которое оказывается равным (екСх (0) со)-1. Это большая
величина, поскольку кСх (0) = 2лСг (0)А 1 (смещение во много раз
меньше
длины волны), и нарастание (%> (t) оказывается медленным по сравнению с
периодом осцилляций. Интересно отметить, что полученное характерное время
совпадает со временем образования разрыва.
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 135
Переходя от ^ к колебательной скорости v, имеем
- = - sin ка ¦ ch_1
Со Со
Vo
-у- &кС1 (0) (at
cos соt
- - sin 2/ca-th
Co
-y &kCi (0) (at cos2coit. (V.3.34)
Если в этом выражении ограничиться очень малыми временами и разложить th,
ch'1 в ряд по малым значениям
Рис. V.12. Процесс перекачки энергии из одной моды в другую в
соответствии с решением (V.3.33).
аргумента, то в первом приближении можно получить в точности результат
(V.3.22).
Более интересными представляются_задачи о вынужденных колебаниях
резонаторов, поскольку именно со случаем вынужденных колебаний часто
приходится иметь дело на практике.
Для того чтобы выяснить физические особенности такого типа движений,
ограничимся рассмотрением одной задачи о конечных колебаниях столба
воздуха в открытой трубе [76]. Пусть источник звука в виде поршня,
колеблющегося по закону ? (0, t) = A cos (at, расположен при а = 0.
Другой же конец трубы а = I открыт, и граничное условие на этом конце
имеет вид
05 (I> t)/da = 0.
136 гл. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ волн
В качестве решения уравнения первого приближения (V.3.16),
удовлетворяющего данным граничным условиям, можно взять выражение
цц = а cos cot. (V.3.35)
Резонансные частоты определяются из условия cos kl = == 0, или
Ы = -^(2п - 1), п = 1,2,3,... (V.3.36)
Для случая, когда резонатор возбуждается на частоте, близкой к
резонансной, решение (V.3.35) непригодно. В противном же случае,
располагая выражением (V.3.35), можно вычислить правую часть уравнения
(V.3.17):
q?Й) 92^(1) 8 gjn 2к (I - а) .. . 0 ..
2е -5-------^- =----А2--------------1-- 1 + cos2(oH
да да2 2 cos 2kl 1 1
(V.3.37)
и найти частное решение для ?(2), удовлетворяющее граничным условиям ?(2>
(0, t) = 0, <9?(2> (К t)/da - 0:
^(2) = тж {sin 2А (*-*)-sin Ш + 2ка +
-f- - ка cos 2к ^ ~ а^] cos 2ы^\ ' (V-3.38)
Переходя, наконец, к колебательной скорости, имеем
v vn cos к 11 - а) . . е / vo \2
- =--------------у-г-,-- sm cot - -) X
со со cos hi 4 V со )
sm 2На1 . о7/7 \~1 sin 2оН о г,а,
Х ТШШ ~ ка cos 2к V - а)\ ТШГ ¦ (у-3-39)
