Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
информацию. Поэтому разложим комплексную амплитуду субгармоники в фурье-
спектр:
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 165
и получим уравнение для фурье-амплитуды уже в обыкновенных производных:
(VI.2.23)
Полоса усиления достаточно широка, |?2|<^1/2, что в размерных переменных
соответствует полосе (0, о"), однако реально ее существенно обрезает, во-
первых, спадание инкремента нарастания а = (1/4 - ?22)'^ /2 при отходе от
центральной частоты и, во-вторых, конечная ширина "спектра" источника на
границе среды.
Сохраняя в решении уравнения (VI.2.23) только нарастающие фурье-
компоненты, можно записать выражение для амплитуды сигнала с помощью
обратного фурье-цреобразования:
оо
J C(Q)e"<Q>*+"MdQ. (VI.2.24)
-оо
Используя теперь стационарность сигнала на границе: С (?2)С* (?2') = q
(Q)8 (Q - ?2'), находим среднюю интенсивность субгармоники
г ...
л9 Т °° Пг
[Aji= _?l__- J е~^+Ы(П)К<1П. (VI.2.25)
- ОО
Если спектр на границе уже, чем полоса усиления (О, со), в показателе
экспоненты можно положить а (?2) ж " (1 - 2122)/4, тогда
I Г* , ?
1Лр = 4(1 + 2A^f^e~^ali)+^. (VI.2.26)
Решение (VI.2.26) показывает, что шумовой сигнал с конечной шириной
спектра А нарастает по закону, несколько более медленному, чем регулярный
сигнал при S (0) =
= я/2.
Необходимо заметить, что усреднение в формуле (VI.2.26) проводится по
достаточно большому (по сравнению со временем корреляции) промежутку
времени. В экспериментальных же условиях может получиться
16G ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
так, что временная разрешающая способность приемника звука позволяет
следить за флуктуациями интенсивности (обусловленными конечными временами
корреляции фазы) от ее среднего значения (VI.2.26). В силу того, что
спектр шума предполагается узкополосным, сигнал на входе можно
представить в виде Vc = А (0) sin [0 + <р (0)1, где А, ф - медленно
изменяющиеся случайные амплитуда и фаза. Теперь очевидно, что
незначительные изменения фазы ф (0) вызовут сильные флуктуации амплитуды
усиленного (или ослабленного) сигнала и приемник будет в этом случае
регистрировать субгармонику крайне нерегулярным образом.
Большой интерес представляет проблема возникновения субгармоники в толще
среды при отсутствии возмущения на границе. Аналогичное явление (так
называемая "параметрическая люминесценция") хорошо изучено в нелинейной
оптике [90]; здеоь затравочными возмущениями служат квантовые шумы,
равномерно распределенные по объему среды. В ультразвуковом же диапазоне
шумы Носят тепловой характер, и для объемной плотности энергии шума в
интервале частот А/ справедливо выражение
Здесь к= 1,37-10 23 Вт-сек/град -постоянная Больцмана, Т - абсолютная
температура.
Прежде чем решать эту задачу, необходимо более подробно обсудить ее
постановку. Для простоты мы рассматриваем вырожденный случай, когда в
формуле (VI.2.27) 2л/ - со/2 (где со - частота волны накачки). В отличие
от других задач, рассмотренных в настоящем разделе, начальное возмущение
считается заданным не при о = 0, а при о - о0. Для этого случая решение
(VI.2.13), (VI.2.14) с помощью переменной ? удобно записать одной
формулой
А И7 = /сГ/2А/.
С
(VI.2.27)
? - So
1 -J- е* 40 tg2 ф0 1 + tg2.9o
) . (VI.2.28)
2
Здесь А0, ф0 - амплитуда и фаза в точке а = о0. Поскольку фв для
теплового шума является случайной
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ ВЕЗ ДИСПЕРСИИ
167
величиной, равномерно распределенной в промежутке [О, 2я], решение
(VI.2.28) необходимо усреднить по фазам. В результате такого усреднения
получается выражение
Поскольку среда предполагается нагретой равномерно, интенсивность шума не
зависит от координаты |0. Для вычисления наблюдаемой интенсивности в
некотором сечении ? нужно просуммировать все "сигналы", вышедшие из точек
?0(0<С ?о \ 1)> т- е- взять интеграл
Здесь интегрирование является сложной задачей, так как выразить явно а
через | затруднительно. Однако нас интересуют только приближенные оценки,
которые помогут ответить на вопрос о возможности экспериментального
обнаружения этого эффекта, и потому точное вычисление интеграла (VI.2.30)
необязательно. Если пренебречь затуханием, то интеграл легко берется
Как показывает выражение (VI.2.31), максимальное усиление достигается при
а -* оо. При этом коэффициент усиления по порядку величины равен 2eRe -
точно такой же результат получается, как мы видели, и в том случае, когда
источник сигнала локализован на границе. Таким образом, распределенный
источник не дает почти никакого выигрыша, за исключением небольшого, быть
может, изменения численного коэффициента, стоящего перед 2eRe. Итак,
интенсивность усиленного шума можно определить по формуле
А2 = Ale
(VI.2.29)
ch-|"d6'. (VI.2.30)
(VI.2.31)
J = kTf2 (2e Re) Д/.
(VI.2.32)
168 гл. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Следует отметить, что ширина полосы приемника А/ ограничивается лишь
требованием узкополосности сигнала, и поэтому при больших числах
Рейнольдса эффект может быть доступен наблюдению.
