Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
интенсивных волн сопровождается значительной передачей их импульса среде,
возникают акустические течения (см. гл. VIII). Конфигурация и величина
скорости акустического потока сильно зависят от геометрии системы, однако
для простоты мы будем считать, что течение возникает лишь внутри области,
занятой пучком со: со скоростью uv и внутри области, занятой вторым
пучком - со скоростью и%. Выкладки, аналогичные проделанным выше,
приводят
здесь к следующему волновому уравнению:
Ар'(2) - 4- д-^~ = 44^ А (0, юх, со2) cos Гй t -
го о
(?iMi - ?г(r)2 cos 0) -)- ?з(r)2 sin о] > (V.2.31)
где (Д = 1 - uJcQ, ^2=1 - uJcQ - слабо отличаю-
щиеся от единицы числа, учитывающие влияние движения среды на скорость
распространения звука. Для того чтобы имело место излучение волны
разностной частоты, необходимо потребовать й = с0 | К [, откуда следует
0* = dS^("1<Ol_"2(r)*>' (V.2.32)
tg Ф = - К(r)! - u2a>*)J". (V.2.33)
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 127
Как и в предыдущем случае среды с релаксацией, здесь невозможно рассеяние
волны суммарной частоты. Эффект рассеяния будет осуществляться и в том
случае, если течение наложено извне, т. е. носит неакустический характер.
В заключение следует отметить, что в настоящем параграфе для вычисления
рассеянного поля всюду применялся метод последовательных приближений. Как
мы подчеркивали ранее, этот метод несвободен от существенных недостатков.
Прежде всего, он не учитывает нелинейных искажений и истощений волн сщ,
со2, которые могут быть существенны при больших числах Рейнольдса. Но
именно в этом случае должен быть максимальным и эффект рассеяния,
поскольку и искажение, и рассеяние своим происхождением обязаны одной и
той же нелинейности.
Было бы интересно получить аналогичные результаты для Re 1 с помощью
метода, находящего применение при описании искажения ограниченных
звуковых пучков (см. гл. IX). По-видимому, из-за значительных
математических трудностей эта задача может быть решена только численно.
,§ 3. Стоячие волны конечной амплитуды
До сих пор при описании движения сплошной среды использовался способ
Эйлера, в котором все величины считаются функциями координат х, у, z
неподвижного пространства и времени t. Таким образом, эйлерово описание
позволяет следить за движением различных частиц жидкости в определенных
точках пространства.
Возможен принципиально иной (лагранжев) способ слежения за средой,
индивидуализирующий частицы среды посредством выбора начальных (при t =
tQ) координат частицы х0 = а, у0 - b, z0 = с в качестве независимых
переменных. При этом текущие координаты частицы х, у, z будут являться
функциями от своих начальных значений а, Ь, с и времени t.
Как ясно уже из определения, лагранжевы координаты а, Ь, с, t удобны для
задания граничных условий; именно поэтому в нелинейной акустике они
преимущественно употребляются при описании стоячих волн.
128
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа отличаются от уравнений в форме
Эйлера. Для того чтобы проиллюстрировать технику перехода от одних
координат к другим, рассмотрим вывод уравнений неразрывности и движения.
Пусть при t = t0 плотность некоторой частицы среды есть р0, тогда масса
среды, находящаяся в объеме dV = = dadbdc, будет paFna dm - ра dadbdc. В
последующий момент времени t эта масса будет выражаться соотношением dm =
pdxdydz. Отсюда
pQdadbdc - pdxdydz. (V.3.1)
Поскольку x, у, z являются функциями а, Ъ, с, t, можно написать
dx = xada -f хьdb -f xcdc -f- xtdt\ (V.3,2)
аналогично выразятся dy и dz. Заменяя в соотношении (V.3.1) dx, dy, dz
через их выражения (V.3.2), получим уравнение неразрывности в форме
Лагранжа:
Ро == Р
Уь Ус
(V.3.3)
Уравнение движения при отсутствии внешних сил имеет простой вид
dv 92R 1 ,-rr g ,,
1tT=^-=- - VP' (V-3'4)
Здесь R = {x, y, z} - радиус-вектор лагранжевой частицы; операция V
производится по координатам х, у, z. Однако это уравнение значительно
усложняется при замене производных по х, у, z производными по а, Ь, с.
Поскольку, например, для др/дх имеем
др да дЪ . дс Ра , рЬ , рс ,\т п п.\
(аналогичные выражения получаются и для dpldy, dp/dz), уравнение (V.3.4)
становится нелинейным. С помощью (V.3.5) и (V.3.3) оно может быть сведено
к следующей
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 129
системе:
xttxa + УиУа + zttza + ~у = О,
xttxь + УиУь Ч~ zttzb Ч-~ = *-*> (V.3.6)
хихо Ч* УиУс + zttzc Ч == О-
В акустике часто используется такая форма лагранже-вых уравнений, где в
качестве зависимых переменных берутся смещения ?, т], Z, из начального
положения а, Ь, с. Тогда
х = а + 1(а, Ь, с, t), у = Ь + г] (а, Ь, с, t),
(V.3.7)
z = с + ? (а, Ъ, с, t).
С помощью замены (V.3.7) уравнения (V.3.3) и (V.3.6) могут быть
преобразованы к более удобному виду. Однако в многомерном случае они все
еще остаются достаточно сложными и поэтому используются редко. Простой
вид эти уравнения приобретают для плоского движения:
Р (1 Ч- D = Pol (V.3.8)
