Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ро'?(( + Ра = О- (V.3.9)
С помощью адиабатического уравнения состояния можно получить pR = Copa
(p/po)v 1 и исключить в последнем уравнении переменную р:
(V.3.10)
Дифференцируя теперь (V.3.8) по а, придем к соотношению ?,аа = -paPo/р2!
которое вместе с (V.3.8) позволяет избавиться в (V.3.10) от переменной р
и получить одно нелинейное уравнение
~ (1 -р i )Y+i ^aa' (V-3-11)
описывающее волны, бегущие в обе стороны - как вправо, так и влево,- и их
взаимодействие между собой.
130
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
В том случае, если жидкость является вязкой, то волновое уравнение
приобретает сложный вид. Однако на основе качественных соображений часто
дополняют уравнение (V.3.11) диссипативным членом, содержащим старшую
производную:
При малых %а 1 пользуются уравнениями, полученными из (V.3.11)
разложением члена (1 + D_(Y+1) в степенной ряд:
Для точного перехода от лагранжевых координат к эйлеровым необходимо
располагать явными решениями уравнений. В нелинейной акустике, однако,
часто пользуются приближенным переходом. Так, если задана некоторая
функция L(x,t) в лагранжевых координатах, а смещение равно то
L (х, t) - Е (х + ?, t) - Е (х, t) -|- %ЕХ + -Tj- Ехх + • • •
где Е (х, t) - значение этой же функции в координатах Эйлера. Обратное
преобразование имеет вид
Е (х, t) - L (х - ?, t) L (а, I) - \La -J-Ьаа Д- ... (V.3.15)
Займемся теперь непосредственно рассмотрением стоячих волн. Поскольку это
явление стоит ближе скорее к колебательным, нежели к волновым процессам,
естественно предположить, что асимптотические методы, применяемые в
теории колебаний нелинейных систем с сосредоточенными параметрами, могут
быть эффективны и здесь. Вопрос о сведении колебаний акустических систем,
являющихся всегда системами с распределенными параметрами, к колебаниям
системы с сосредоточенными параметрами, по-видимомому, может быть
разрешен, но он до сих пор не рассматривался [74]. Основным и, пожалуй,
(V.3.12)
lit - с0 1 - (Т +.1) !а +
(Т + 1) (Т + 2) 62
о Ъа
2
Ц-... U- (V.3.13)
(V.3.14)
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 131
единственным методом решения уравнений (V.3.11) - (V.3.13), который до
сих пор применялся при изучении стоячих волн конечной амплитуды, был
метод последовательных приближений. Представляя смещение ? в виде -|- 1(r)
+ . . можно получить уравнения первого
i?L_4^ = 0 (V.3.16)
да*
и второго
1 = 52L (v.3.17)
да* cl dt* да да2 4
приближений (для случая среды без диссипации). При задании начальных и
граничных условий нужно учесть специфику задачи, допускающей несколько
различных постановок.
Рассмотрим вначале собственные колебания. Пусть между двумя неподвижными
жесткими стенками, расположенными при а = 0 и а = I, задано звуковое поле
в начальный момент t = 0. Требуется определить возмущение во все
последующие времена [75]. При наличии жестких стенок граничные условия
имеют вид
g(i) = |(2) = о при а = 0 и а = /. (V.3.18)
В качестве начального условия выберем стоячую волну обычного
синусоидального вида между этими границами. Таким условиям удовлетворяет
решение первого приближения
|Р) = A sin ка- sin at, (V.3.19)
где к = со/с0, а со определяется из условия I = к/2 = = яс0/со. Вычисляя
через правую часть в уравнении (V.3.17), получим
2е =-- - -у- к3A2 sin 2ка (1 - cos 2сot). (V.3.20)
Общее решение уравнения второго приближения с правой частью (V.3.20)
находится просто и имеет вид
|(2) = кА2 sin 2ка (1 -со^ sin 2соt 4- Dx sin 2сot 4- П2 cos 2сot).
(V.3.21)
132
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Здесь flj и - произвольные константы. Переходя от смещения ? к
колебательной скорости v = d%ldt и выбирая Dlt D2 таким образом, чтобы
при t - О г/2) равнялось нулю и отсутствовали бы ненарастающие члены,
осциллирующие с частотой 2со, получим
- = - sin ка ¦ cos at (-)2 sin 2ka-(ot-cos 2сof.
с о со 4 \ со /
(V.3.22)
Как нетрудно видеть, происходит нарастание амплитуды второй гармоники.
Это явление имеет ясный физический смысл [75]. В самом деле, уравнения
гидродинамики могут быть выведены из статистической теории как некоторое
ее приближение и должны обладать существенными ее свойствами. Как видно
из граничных условий, рассматривается замкнутая система; рано или поздно
она должна прийти к равновесному состоянию, и полученное решение есть
первый шаг к его установлению. Это осуществляется как раз вследствие
того, что система нелинейна. Однако решение (V.3.22) справедливо в
пределах лишь очень малого отрезка времени.
Для получения более физичного результата предположим, что в резонаторе
могут взаимодействовать только две основные моды, и будем искать решение
уравнения (V.3.12) в следующем виде:
| = Аг (t) sin ка А2 (t) sin 2ка. (V.3.23)
Собирая выражения, стоящие при sin ка и sin 2ка, придем к двум уравнениям
Ai + - к2Ах -]- со2Ах = ш2к2А1А2,
Р° (V.3.24)
Л2 + 4 к2А2 + 4со2Л2 = ш2кА\.
Если считать далее, что нелинейные и диссипативные члены в уравнениях
(V.3.24) малы (~ р), то решение можно приближенно искать в форме
