Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вг = Cue"'* + C12egiX, В 2 = Сг ie^x + C22eg'x. (VI.1.14)
150 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Явный вид констант С# можно установить из граничных условий: Вх (ж = 0) =
Вг (0), 2?2 = 0) = 0 (эти выра-
жения несколько громоздки и поэтому здесь не приводятся). Для того чтобы
решения были нарастающими, действие нелинейных эффектов должно
проявляться сильнее, чем нежелательное влияние диссипации. Это возможно
только при достаточно интенсивной накачке, амплитуда которой превышает
некоторое пороговое значение Лпор. Как нетрудно установить с помощью
формулы (VI. 1.13), выражение для Япор имеет вид Япор =
Со|/Лб1б2/е]/Г(о1ю2-Вводя число Рейнольдса волны накачки, равное ReH = =
с0р(Дн/^(r)з, можно записать условие параметрического усиления в следующей
форме:
Поскольку правая часть неравенства (VI. 1.15) в силу соотношения % -f со2
= со3 изменяется в пределах от 0 до 0,5, при больших числах ReH усиление
всегда имеет место. В этом случае можно положить 6Х = 62 = 0 и получить
из (VI.1.14) простые выражения для нарастающих амплитуд:
Решение (VI. 1.16) показывает, что процесс идет наиболее эффективно при
совпадении частот усиливаемых волн: (r)i = (r)2 = и3/2. Такой режим
называется вырожденным; он обратен по отношению к генерации второй
гармоники, поскольку представляет собой процесс распада высокочастотного
фонона Йсо на два одинаковых фонона частоты со/2.
Приближение заданного поля накачки удовлетвор итель-но описывает только
начало параметрического усиления. Экспоненциальный рост амплитуд слабых
волн должен вскоре привести к тому, что начнет сказываться реакция -
(VI.1.15)
§ 1. О ТРЕХЧАСТОТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 151
их обратное воздействие на накачку - иИн уже нельзя будет считать
константой.
Для исследования эффектов насыщения нужно учитывать, помимо уравнений
(VI.1.12), также и уравнения, описывающие изменения амплитуды и фазы
волны накачки [10]. Эти уравнения нетрудно вывести из системы (VI. 1.3),
перейдя к действительным амплитудам и фазам для всех трех
взаимодействующих волн. Выполняя указанную процедуру, получим
-Ь Мт + -^- ВД sin Л' = 0,
со
^ + 62B2 + ^-B1B3smA'= 0, (VI.1.17)
со
+ б3в3 - ВхВг sin Д' = 0,
сШ' . е / В%Вз ВгВ3 BlB%\ ^
-^ + ^-((r)1-вГ + (r)а_вГ_(r)3"дг)С08А =0-
Здесь А' = S3 - 5Х - S2. В общем случае система (VI.1.17) может быть
решена только численным способом. Для нахождения аналитических
результатов рассмотрим простейший вариант, когда = б2 - б3 = 0. Будем
считать, что при х = 0
Bi {х = 0) = Вг (0), В2 {х = 0) = 0, В3 (ж = 0) = В3 (0),
А' = - я/2 = const. (VI.1.18)
Из первых двух уравнений (VI.1.17) в рассматриваемом случае имеем dB^tdB3
= (ЛгВ31(я3Вг¦ Интегрируя это соотношение с использованием на границе
(VI.1.18), придем к выражению
В\ = ^-В\ + В\( 0). (VI.1.19)
Комбинируя другие пары уравнений (VI.1.17), можно аналогичным путем
получить следующие результаты:
Bl=-^Bt + Bt( 0),
2 (VI.1.20)
3?=--|i[^-i?f(0)] + 52i(0).
152 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Если подставить выражения (VI.1.19), (VI.1.20) во второе уравнение
системы (VI.1.17), получим уравнение с разделяющимися переменными
-^ =--------------------- В\) (I(VI.1.21)
со
Здесь введены обозначения для констант: ш2 = со25з (0)/со3, v2 = со2В 1
(0)/%. Проинтегрируем (VI.1.21) и введем новую переменную w2 - В\ --
иАг/2, в итоге имеем
V1 -в\№
S (1 - У2) (1 - = IT ^COl"3 Хш- (VL1-22)
Левая часть этого равенства содержит эллиптический интеграл первого рода,
через к2 обозначено выражение w2!{v2 + w2). Обращая эллиптический
интеграл, можно прийти, как известно, к эллиптическим функциям Якоби. Это
позволяет записать решение в следующей форме:
В2(х) = /?*з(0) СП (к + , (VI.1.23)
1
где К = jjl(l - У~)( 1 - ^2Z/2)1 '2 dy. Пользуясь найден-о
ным решением и выражениями (VI.1.19), (VI.1.20), можно получить формулы,
описывающие изменение в пространстве амплитуд Bi, В3-
(VI.1.24)
В3 (х) = В3 (0)sn (К + .
Как показано на рис. VI.1, взаимодействие волн в рассматриваемом случае
носит характер пространственных биений. Когда 51; В2 становятся
сравнимыми по величине с В3, экспоненциальный рост замедляется. Амплитуды
волн сигнала и разностной частоты достигают своего максимального
значения, после чего начинается обратная
§ 2. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ 153
перекачка энергии в волну накачки. Если же б3 Ф 0, то наряду с биениями
начнется монотонное убывание
Рис. VI.1. Параметрическое взаимодействие при учете обратного воздействия
па накачку.
амплитуд взаимодействующих волн и при достаточно больших потерях
амплитуды Вг, В% будут иметь только по одному максимуму.
§ 2. Параметрическое усиление звука
в средах без дисперсии
Идеализированный случай чистого трехчастотного взаимодействия,
рассмотренный в предыдущем параграфе, в нелинейной акустике обычно не
реализуется.
Специфика акустики состоит в отсутствии частотной дисперсии скорости
звука, откуда следует линейность зависимости волнового числа от частоты:
