Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
среде турбулентных потоках и, следовательно, может быть учтено в линейном
приближений. Принципиально рассеяние на вихревых волнах возможно и в
покоящихся газах и жидкостях. Если в качестве возбуждающего звука взять
очень мощную волну, то при рассеянии на флуктуационных вихрях покоящейся
среды рассеянная волна может достичь заметной величины. Если при этом ее
интенсивность окажется достаточной для того, чтобы совместно с падающей
волной оказать заметное обратное воздействие на ту вихревую волну, на
которой она рассеялась, то это приведет к усилению данной вихревой волны,
что в свою очередь повлечет за собой дальнейшее усиление рассеяния и т.
д. Мы приходим, таким образом, к вынужденному рассеянию звука на вихревых
волнах [85].
Рассмотрим эту задачу более подробно, поскольку она носит принципиально
нелинейный характер и интересна с методической точки зрения.
Считая процесс распространения звука близким к адиабатическому, запишем
систему уравнений гидродинамики
140 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ волн
в следующей форме:
l + VM-o,
Р 4f + Р (г'^) v = -Чр --1- + V [Т1 def w], (V.4.1)
Здесь обозначено: defv = (dvildXj) + (dvj/dxi); сдвиговая вязкость т)
предполагается зависящей от температуры: dr[ - (d^dT)radt. В системе
(V.4.1) удобно исключить одну из неизвестных, например плотность р, а для
давления р ввести безразмерную переменную Р = (р- Ро)1уРо-Введем далее
две новые независимые переменные
Как известно, любое векторное поле, в том числе и поле скоростей v, можно
представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей: v = grad
ф -f- rot А (где Ф - скалярный и А - векторный потенциалы). Поэтому легко
видеть, что величина й будет характеризовать волны завихренности, q же
относится к потенциальному движению и связана со звуковой волной. С
помощью этих переменных система (V.4.1) приводится к виду
?=p*(ir)v-
q - div v, fi = rot v.
(V.4.2)
(V.4.3)
(V.4.4)
-Щ- - v0AQ = [V/].
(V.4.5)
Здесь v0 = ц/ро - кинематическая вязкость,
def v ,
(V.4.6)
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВОЛНАМИ ИНОГО ВИДА
141
Уравнение (V.4.3) представляет собой нелинейное звуковое уравнение,
(V.4.5) - нелинейное уравнение для вихревой компоненты. Линеаризуя
последнее, т. е. отбрасывая правую часть [V/], можно получить следующее
решение:
Q = Ц0е-',оКпМкпГ, (V.4.7)
где (Q0&n) =0, ?20 - комплексная амплитуда, кп - волновой вектор вихревой
волны. Это выражение показывает, что возникающие в среде неоднородности
непотенциальной части скорости затухают со временем экспоненциально, т.
е. вихревые волны являются релаксационными колебаниями, время релаксации
которых зависит от сдвиговой вязкости.
Следует заметить, что в исходных уравнениях (V.4.1) не учитывалась
объемная вязкость. Нетрудно видеть, что в этой задаче она несущественна,
поскольку вихревые волны не связаны с изменением объема среды, а связаны
только со сдвигами.
Совместное решение уравнений (V.4.3) - (V.4.5) должно описывать процесс
вынужденного рассеяния звука на вихревых волнах. Предполагая, что сильная
звуковая волна при х = 0 падает на плоскую границу среды вдоль оси х,
ищем решение системы уравнений в виде
Р = p0-ei(~k_J_ piei(ktr-o>it) _|_ p^ei(k2r-w2t)_p R с (V.4.8)
Здесь Р0 - амплитуда возбул,'дающей волны, Р1;2 - амплитуды так
называемых стоксовой и антистоксовой рассеянных звуковых волн. При этом
предполагаем, что выполняются следующие соотношения: со0 сщ -)- ощ дг:
Ж <В2 - (Од, (Ой <s?; <в0.
Используя (V.4.8), из уравнения (V.4.5) для вихревой моды в стационарном
режиме получим выражение
Ро [- '"?> + v° (feo -fel)2]
ро [- + Vo (fta - /Со)2]
142
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ^ВОЛН^
Здесь Аи2 = А (1 - cos 01)2) - 2/3 ц, 0Ь2 - углы рассеяния (углы между к0
и к12), А = (dt\idT)To^-^-.
Vo
Ограничимся таким приближением, когда стоксова и антистоксова компоненты
не взаимодействуют между собой. Это условие хорошо выполняется при не
слишком малых углах рассеяния. В этом случае, подставляя выражение
(V.4.8) в уравнение (V.4.3) и пренебрегая, где возможно, членами,
содержащими малый параметр v0^i/с0 (г = 0, 1, 2), получим следующую
систему укороченных уравнений для медленно изменяющихся с координатой х
амплитуд звуковых волн:
С^° 1 д р -
°(Н о -
dx
[каку\ Й01Л + [кйк2\Q;2Р2
ОоЦп Сок2П
РР cos 0! + аЛ = [AsofeJ , (V.4.11)
dx со k'Q
ip cos 02 + а2Р2 = [кйк2\ fi02 P0 •
2fl
Здесь щ = 2/g Vofei/co, &iq ~ fe0 = ^2 Из
двух последних уравнений системы (V.4.11) совместно с (V.4.9) следует,
что усиление в стоксовой области возможно при Ах cos 0j < 0, в
антистоксовой - при А2 cos 02 )> )> 0. Считая Р0 ж const (что вполне
оправдано в самом начале развития процесса), из формул (V.4.9), (V.4.11)
получаем следующее выражение для пороговой интенсивности вынужденного
рассеяния, т. е. интенсивности возбуждающего звука, при которой
начинается экспоненциальный рост рассеянных волн:
2 1 + )2
Iо = --------------------5------^-----, (V.4.12)
[fcofcjHfco + ^KM.cosej
где ti = (v0/4r\ i = 1 или 2 соответственно для стоксовой и антистоксовой
