Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнений (VI.3.17) - (VI.3.19) будем искать в виде трех волн:
волны сигнала, волны накачки и волны суммарной частоты. Комплексные
амплитуды этих волн являются медленно меняющимися функциями х. Напишем
укороченные уравнения
- iAlPl + iv (pi р2 + p3pl), (VI.3.20)
(VI.3.21)
= - i АзРз + 3 ivPlp2, (VI.3.22)
где pv p2, p3 - комплексные амплитуды волны сигнала, накачки и суммарной
волны соответственно, р{ и р*2 - комплексно-сопряженные амплитудь!
соответствующих
§ 3. УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В СИСТЕМАХ С ДИСПЕРСИЕЙ 175
ВОЛН
д р0Л2С°ше2 д _ РоЯ2С°(ОЕ2
1 - / С0а \ • ' 2 - / (0*\ '
д, = , v = Лщс-шЦ2шт <VI"3-23>
1 _ 1 . p0Ci2CoB2 ~~ ~ + 2ш20
Написав решение уравнений (VI.3.20) - (VI.3.22) в виде
___ д ^ с
р1 = В1(х)е I2 2 , р3 - Ае~1АгХ, р3 = В3(х)е 2
(VI.3.24)
мы получим уравнения для В1 и В3:
= -¦ i&iBx j- ivA (Вг -j- В3), - -1&зВ3 -f- SivABi,
(VI.3.25)
где
A! = A, - V2A2, A; = A3 - 3/2A2. (VI.3.26)
Представляя решение уравнений (VI.3.25) в виде
Вх = Се>-Х + Нех'ж, В3 = Ge^ + Яе>-**, (VI.3.27)
мы приходим к характеристическому уравнению
yi + (г2 + 1 + 5а:2) у2 + 9а;4 - 6га:2 - а:2 + г2 = 0, (VI.3.28)
где у = Я/Д3, а: = vH/A3, г = A]/A3.
Пусть Зсо отличается от со20 на 10%, тогда (A3/Ai) = 30, и при 0,03 х
0,365 величина у является действительной. Следовательно, существует
нарастающее решение для волны сигнала Вх- Волна суммарной частоты В3
также увеличивается по амплитуде, но в этой области В3/Вх -0,1.
Определим теперь функцию распределения резонансных воздушных полостей,
которая обеспечила бы усиление волны сигнала.
176 ГЛ. VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ЗВУКОВЫХ ВОЛНАХ
Пусть имеется некоторое распределение пузырьков по частотам; п (со0) dco0
- концентрация пузырьков, собственные частоты которых изменяются в
пределах от со0 до со0 + diо0. Тогда удельный объем, занимаемый
пузырьками, является функцией частоты:
V0n (соо) do#о = / (юо) &"". (VI.3.29)
Введем расстройку по скоростям между волнами аналогично формулам
(VI.3.23), считая со0 да Зсо:
д 9р0с°ш^Ф д 9р0с°со5Ф
16 ' 5---
д = Зрис°со%Ф g со \-Г
3 4 \ соо /
Здесь ? - сжимаемость воздуха, Ф = j f (со0) dсо0 - полный объем,
занимаемый пузырьками; черта означает, что берется величина средняя по
распределению / (со0). Из выражения (VI.3.30) можно найти Aj и Д3
согласно формулам (VI.3.26). При A3/Ai = 30 имеет место усиление волны
сигнала.
Чтобы обеспечить A3/A! = 30, распределение пузырьков по частотам (но
размерам) должно быть таким, чтобы Дсо/с00 да 0,1.
Как известно, основной вклад в затухание волны вносят резонансные
полости. Поглощение звука пузырьками нерезонансных размеров составляет
обычно менее 5% от поглощения при резонансе 196]. В нашем случае (со20 да
Зсо) это приведет к интенсивному поглощению волны частоты Зю.
Приведем численные оценки возможного усиления волны, распространяющейся в
такой гипотетической среде. Допустим, что концентрация перезонанспых
пузырьков обеспечивает следующее содержание воздуха: 10-5 частей воздуха
на одну часть воды и амплитуда волны накачки равна 0,1 атм (мощность 10-3
Вт!см?). Тогда можно ожидать увеличения амплитуды сигнала в е раз на
расстояниях, равных примерно 10 длинам волн.
(VI.3.30)
ГЛАВА VII
НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН. ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 1. Газодинамический подход к теории распространения волн конечной
амплитуды
В основе исследований разнообразных физических явлений, относящихся к
нелинейной акустике, которые были проведены в предыдущих главах, лежит
единый методический подход, характерный для нелинейной акустики вообще.
Во всех случаях мы имеем дело с так называемым вторым приближением теории
волн конечной амплитуды. Об эффективности этого приближения
свидетельствует в первую очередь хорошее совпадение теоретических и
экспериментальных результатов исследований.
Кроме того, второе приближение явилось как бы связующим звеном для двух
самостоятельных разделов механики сплошных сред: физики ударных волн,
использующей нелинейный аппарат конечно-разностных соотношений, и
акустики, имеющей на вооружении математический аппарат нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных. Следует заметить, что
при решении ряда проблем нелинейно-акустический и газодинамический
подходы одинаково эффективны. В частности, правило "равенства площадей"
может быть получено как с помощью интегральных соотношений на разрыве
(см. гл. I, § 4), так и предельным переходом Re->¦ оо в решениях
уравнения Бюргерса, (но не в самом уравнении!).
Однако в рамках второго приближения ценность газодинамической точки
зрения еще невелика, поскольку
178 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
соотношения, связывающие параметры в простой и в ударной волнах,
оказываются одинаковыми с точностью до членов второго порядка малости
включительно.
В членах же третьего порядка малости появляется различие, и это коренным
образом меняет дело. Разрыв перестает органически вписываться в профиль
простой волны. Для гладких областей профиля, наплывающих на разрыв
