Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
вследствие нелинейного искажения, связь параметров изменяется скачком,
что приводит к появлению отраженных от разрыва волн. Картина движения
сильно усложняется, так как волна перестает быть бегущей в одном
направлении. Если гладкие участки профиля могут быть описаны
соотношениями Римана, . то разрывы уже необходимо считать ударными
волнами и описывать их с помощью разностных газодинамических соотно-:
шений.
Эти и другие явления, присущие всем высшим приближениям, начиная с
третьего, требуют для своего рассмотрения одновременного использования
методов нелинейной акустики и теории ударных волн [58, 97]. Поэтому если
второе приближение иногда называют приближением квазипростых волн [17],
то все более высокие уместно было бы называть газодинамическими
приближениями.
Итак, при распространении достаточно сильных звуковых волн конечной
амплитуды в профиле образуются разрывные участки, которые можно
рассматривать как слабые ударные волны. Сними взаимодействует падающая на
разрыв простая волна (гладкие участки профиля) в области сжатия и в
области разрежения. Взаимодействие оказывается возможным, поскольку все
волны распространяются с различными скоростями: в первом случае простая
волна догоняет поверхность разрыва, а во втором - поверхность разрыва
настигает простую волну.
Представим падающую волну произвольной формы в виде совокупности
ступенеобразных простых волн меньшей амплитуды, как это изображено на
рис. VII.1. Тогда весь процесс можно рассматривать как сумму
"элементарных" взаимодействий, в каждом из которых элементарная простая
волна должна считаться малой величиной следующего порядка малости по
сравнению с "амплитудой"
§ 1. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД
179
разрыва. Единичный акт такого взаимодействия представлен на рис. VII.2,
иллюстрирующем очевидные соотношения между параметрами падающих на разрыв
простых и
Рис. VII.1. Качественная картина формирования ударного фронта.
Рис. VII.2. Схема одиночного (элементарного) взаимодействия.
отраженной волн и параметрами самого разрыва:
(VII.1.1) (VII.1.2) (VII.1.3) (VII.1.4)
Здесь v и р - соответственно скорость и возмущение плотности среды.
Индексом 1 помечены величины, которые относятся к точке, находящейся
непосредственно перед фронтом ударной волны, а индексом 2 - к точке
непосредственно за фронтом. Нештрихованные величины характеризуют
амплитуду скачка до взаимодействия, штрихованные - после взаимодействия.
Для того чтобы рассчитать элементарный акт взаимодействия, т. е. получить
выражение для отраженной
Р2 _ Ра + Рпг + Рот' Pi = Pi + Pni'
v.z = y2 -j- уп2 -]- v0T, V1 = vl + Vnv
180 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
волны в виде функции от параметров скачка и падающих на него простых
волн:
Рот = Рот (pi! р2> Pnll Рпг)] (VII.1.5)
соотношений (VII.1.1) - (VII.1.4) недостаточно. Нужно воспользоваться
также и выражениями, связывающими параметры гг и р на разрыве (г; (р), г/
(р')), в падающих (ггП1 (рш), Упг (Рпг)) и отраженной (ггот (рот))
волнах.
§ 2. Расчет отраженных от разрывов волн
Прежде чем приступить к вычислениям, необходимо условиться относительно
порядков малости всех встречающихся переменных. Поскольку величины,
характеризующие взаимодействия, являются малыми величинами первого
порядка малости, т. е.
-.-.-Л,-,-,-,--!*.1 (VII.2.1)
ро ро ро Ро Со со Со Со
надо все параметры, характеризующие простые падающие волны, считать
малыми величинами второго порядка:
j4u _Рп2_ 2 (VII.2.2)
Ро ро Со Со г 4 '
В целях упрощения последующих выкладок в настоящей задаче параметры,
характеризующие отраженную волну, приняты малыми величинами четвертого
порядка малости (~ р4), как это и есть на самом деле в соответствии с
оценками (VII.1.1), (VII.1.2).
Займемся теперь выводом связей между параметрами v и р, недостающих для
решения поставленной задачи.
Поскольку падающая волна является простой, для нее справедливо
соотношение (1.2.12), которое понадобится нам в приближенной форме:
_^п_ __ _Рп_
Со ро
Здесь необходимо учесть, что простая волна движется по среде,
предварительно сжатой (или разреженной)
I 2. ЁАСЧЕФ ОТРАЖЁННЫХ ОТ РАЗРЫВОВ BOJlH 181
ударной волной, и поэтому последнюю формулу следует переписать в виде
где (для определенности берем волну, догоняющую разрыв сзади - в области
сжатия):
Подставляя (VII.2.5) в выражение (VII.2.4) и совершая ряд преобразований,
отбрасывая при этом члены - р5 и более высоких порядков малости, придем к
одной из искомых связей:
Выражение, связывающее vnl и рп1, имеет в точности такой же вид и
получается из (VII.2.6) заменой индекса 2 при всех параметрах на индекс
1:
Несколько более сложным путем можно прийти к соотношению между
параметрами р и v на разрыве. Будем исходить из двух механических условий
(В.2.1), (В.2.2), связывающих скачки величин р, v, р при переходе через
фронт ударной волны. Эти условия запишем в неподвижной системе координат,
учитывая скорость движения поверхности разрыва С/ф:
wn Рп А | Т -' 3 Рц
