Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
э'(2)
ро
(ф, °)'
яе v\v2 аЫ [sin 6 sin,3] 2 л AVij
fsin б sin 3] Г,-. / ,
{-.-}cos 1й(*
I 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
123
вый взгляд кажется, что и синхронное рассеяние будет наблюдаться под
малыми углами, т. е. эффект практически не отличается от коллинеарного
взаимодействия. Можно показать, однако, что для случая пересечения двух
волн с близкими частотами со1 ж со2 угол ф, под которым будет наблюдаться
рассеянная волна разностной частоты, может иметь заметную величину.
В качестве одного из конкретных физических механизмов, ответственных за
наличие слабой дисперсии, рассмотрим релаксационные процессы [64]. Пусть
в релаксирующей нелинейной среде под углом 0 пересекаются два интенсивных
звуковых пучка с частотами со2, со2, как это показано на рис.
V.8. Будем считать, что для исходных частот выполнено неравенство сщ,
со2>-1/т, т. е. внутренний параметр g "заморожен", и скорость волн <й2,
со3 равна ссо (подробнее об этом см. в гл. IV). Для разностной же частоты
мы потребуем Qt ^ 1, т. е. для частот порядка Q дисперсией скорости звука
пренебрегать нельзя; фазовая скорость волны Q равна c(Qt)<coc.
Для того чтобы взаимодействие трех волн он,, со2, Q = со2 - <й2 было
эффективным, необходимо потребовать выполнения условия синхронизма
(V.2.4), которое в данном случае нужно записать в виде
ку-к2^К, или = е3-. (V.2.20)
Соо Соо С
Как следует из (V.2.20), три волновых вектора kv к2, К при синхронном
взаимодействии должны образовать замкнутый треугольник, изображенный на
рис. V.11. Поскольку | кг | ж [ к21, элементарные геометрические
построения рис. V.11 показывают, что угол ф может быть не мал даже при
малой дисперсии т. = (cL - c\)!cl.
124
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Более точные оценки для величины угла ф будут получены ниже в результате
вычислений.
Вывод основного уравнения для случая среды с релаксацией аналогичен
выводу уравнения (V.2.8) с той лишь разницей, что переменную р' здесь
нужно исключить с помощью уравнения состояния (IV. 1.20). Полученное
уравнение имеет вид
Af),(2> -;r^r--JrA Jj Рdt' = -4nq, ¦
00 - X)
(V.2.21)
где -4лq дается формулой (V.2.11); в последней надо лишь заменить всюду
с0 на сх. Осциллирующий множитель
cos
(ац - о)2) t - (оц - <й2 cos 0) -f - щ sin 0
С.-. ^ ^
выражения (V.2.11) показывает, что рассеянная волна с частотой Q = сох -
со2 в принципе может наблюдаться в направлении, определяемом вектором
К = гЫ1 Ыг cos 9 -, j ^ (V.2.22)
Для того чтобы получить информацию о поведении амплитуды рассеянной волны
по направлению К, ориентируем вдоль вектора К новую ось ц. В результате
этого вместо (Y.2.11) в правой части уравнения (V.2.21) появится
следующее выражение:
- 4я? = ~р0А (0, соь oj2)cosQ ft - у -H-V (V.2.23)
2c* \ ^ j
где у = V-|- (c)2 - 2co1(o2 cos 0/(co1 - co2); для краткости через A (0,
co1; co2) обозначено то выражение, которое в формуле (V.2.11) заключено в
фигурные скобки.
Ищем решение уравнения (V.2.21) с правой частью (V.2.23) в виде р,(2) = с
(ц) ехр (i?l?). Используя факт малости константы т, получим приближенно
следующее
§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
125
выражение:
р'(r) viVi А (0, coi, т) ( Г . й
ЗГ
тй2Т Т)
viv% А (0, coi, сог) Г Г . й / , , т. \
рГ = 2Z й2 (a2f2 - 1) |еХр (' +2(1 +n*t*)) 11 ~
[2 (1 + Й2Т2) са
где
-ехр(-г^-тл)}, (V.2.24)
e* = 1-rrki+irffe' (V-2'25)
которое позволяет проанализировать поведение рассеянной волны как при
выполнении условия синхронизма, так и при наличии расстройки. Синхронизм
выполняется при условии
1 + 2(1 + Й2т2) = (V.2.26)
что возможно при вполне определенном, малом значении угла 0 = 0С, где
о "1 ? 0)2
0с =------' п? . (V.2.27)
"1"г(1 г й2Т2) v '
Формула (V.2.27), в частности, показывает, что дисперсия, создаваемая в
среде процессами релаксации, в случае сорт 1, со2т^> 1 не может привести
к рассеянию волны суммарной частоты. Действительно, заменяя в формуле
(V.2.27) всюду со2 на - со2, получим 0с < 0, что невозможно. Рассеянная
волна разностной частоты должна наблюдаться под углом ф, для которого
Ку "20,.
ТГ
tg ф=7р!'ж__° (V.2.28)
и, с учетом формулы (V.2.27),
'5Ф=-(!гтДк-.Г'- <V-2-29>
Как следует из выражения (V.2.29) и векторной диаграммы, изображенной на
рис. V.11, угол рассеяния волны Q может быть не малым по величине, что
удобно для наблюдения эффекта.
126
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
При выполнении условия синхронизма решение (V.2.24) принимает вид
/(2)
L_ = Jr.0l"!JC4Sina(<-i), (V.2.30)
нто совпадает с (V.1.7). Если же условие синхронизма не выполняется, то,
как видно из решения (V.2.24), появляются характерные биения,
пространственный период которых зависит от величины расстройки.
В предельном случае /гг -^ 0 или т -ос мы имеем не-диспертирующую среду.
Тогда 0С = 0, т. е. взаимодействие возможно только в параллельных пучках,
и ф = О, т. е. рассеянная волна будет наблюдаться в направлении оси х.
Помимо процесса релаксации к появлению эффекта синхронного рассеяния
звука могут привести и другие причины. Если, например, распространение
