Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
связаны между собой следующими соотношениями:
х = r0 cos ф, у = r0 sin ф cos ф, z = r0 sin ф sin ф.
(V.2.15)
Подставляя в формулу (V.2.13) выражение (V.2.12) для плотности источников
и полагая в амплитуде подынтегрального выражения г = г0 (для фазовых
членов необходимо использовать более точное разложение (V.2.14) и
(V.2.15)),
§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
119
I U / 2 UJ 2
\dx' ^ dy' ^ dz'-cos^Q [t-------------
придем к следующему интегралу:
,(2) " ,1 ai~2 Ь/-2
?_(ф -ф) ^ ZL Л. J_
РО 2 со со AVo_
О -а/2 -Ь/2
+ х' (cos ф - 1) + у' -у- sin ф • cos ф + z sin ф sin tJjJ .
(V.2.16)
Здесь А = 2nc0/Q - длина волны рассеянного звука; интегрирование ведется
по области пересечения пучков
Рис. V.9. Вспомогательная сферическая система координат с полярной осью,
совмещенной с осью х.
волн с частотами (ох, со2 : 0 V/ х ^ /, -а/2 </ у </ а/2, -Ы2 z О Ь/2.
Вычисляя интеграл (V.2.16), получим следующий результат:
р'(2) __ яе vivz
ро 2 с2 Л2г0
X
я -д- sin ф cos ф
а
Я -д- sin ф cos ф
Ъ
я -д- sin ф sin ф I
X
sin [л
Л
(1 - COS ф)
-д- (1 - COS ф)
(V.2.17)
120 гл. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ волн
Как и следовало ожидать, для А a, b, I рассеяния па достаточно большие
углы не происходит, так как в этом случае решение (V.2.17) стремится к
нулю при А -0. Эффект носит дифракционный характер и заметен при длинах
волн А, сравнимых с размерами области взаимодействия. Рассеянное
излучение имеет направленность; зависимость р'<2> от углов ср, ф
описывается множителями типа (sin |)/Н, заключенными в решении (V.2.17) в
фигурные скобки. Главный максимум рассеянного звука соответствует ср = 0,
т. е. приходится на направление оси х.
Теперь перейдем к рассмотрению более сложной ситуации, когда угол 0 между
осями двух скрещивающихся пучков не равен нулю (см. рис. V.8). В том
случае, если взаимодействуют волны с близкими частотами соj ж со2,
наглядное представление о распределении источников рассеянных волн можно
получить с помощью картины муара, которая возникает при наложении под
некоторым углом двух дифракционных решеток с близкими периодами, каждый
из которых соответствует плоской волне.
Как показано на рис. V.10, в области пересечения появляются черные и
белые муаровые полосы, определяющие положение источников равной фазы.
Поскольку решетки находятся в движении, движутся и муаровые полосы со
скоростью с = с0 (Л2 - +^2 - 2ЯхЯа cos 0
с0. (Если бы имела место противоположная ситуация: с с0, вторичные
источники двигались бы со сверхзвуковой скоростью. Вследствие этого могло
бы наблюдаться явление, аналогичное черепковскому излучению, когда
источники синхронно возбуждают волну под некоторым углом к направлению
своего движения *).)
С помощью рис. V.10 можно дать качественное описание зависимости уровня
рассеянного излучения от угла пересечения пучков, имеющих поперечные
размеры а. Если угол 0 мал, 0 Я1;2/2а, в области взаимодействия ук-
ладывается только одна "зона Френеля", т. е. фазы вторичных источников
изменяются мало. В этом случае должно наблюдаться максимальное рассеяние
примерно такого же уровня, как и при 0 = 0. С увеличением 0
*) Такая -ситуация встречается в нелинейной оптике [135].
Рис. V.10. Муаровые полосы в области пересечения двух пучков.
§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
122
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
увеличивается число зон внутри области взаимодействия и уменьшаются
размеры каждой из зон; вследствие этого падает и уровень рассеянного
звука.
Для количественного рассмотрения явления необходимо вычислить интеграл
(У.2.13) при тех же самых предположениях, что и в случае 0 = 0; нужно
только вместо (V.2.12) воспользоваться более общим выражением (V.2.11). В
результате расчета можно получить следующее решение:
?) + б]. (V.2.48)
Здесь для простоты положено = 0, т. е. рассеянное поле рассматривается
лишь в плоскости (х, у). Через б, р обозначены выражения
б = - [(fcj - fc2) COS ф - (&1 - fc2 COS 0)],
(V.2.19)
p = f(/iX - k2) sin ф + k2 sin 0].
Решение (V.2.18) справедливо для произвольных углов 0, в том числе и для
случая 0 = 0, когда взаимодействуют параллельные звуковые пучки.
Результат (V.2.18) при этом согласуется с (V.2.17). Из выражения (V.2.18)
видно, что значение амплитуды рассеянного сигнала для 0 = 0 в максимуме
(ф = 0) будет максимальным по сравнению со случаями других углов 0.
Анализ этого выражения показывает также, что для высоких и близких частот
со1; со2, когда на поперечных размерах области пересечения укладывается
много длин волн исходных колебаний и А2, р/ 2) резко убывает с ростом
угла 0. В то же время при малых 0 <7 Аь 2/2а амплитуда р,(2) будет близка
к величине, которая достигается при 0 = 0. Это полностью согласуется с
выводами, следующими из рассмотрения физики явления.
В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о возможности
существования в акустических средах синхронного рассеяния звука на звуке.
Поскольку дисперсия скорости звуковых волн, как правило, мала, на пер-
