Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
волнового уравнения для рассеянной волны, наблюдаемой под некоторым углом
ф к оси х, появится "вынужденная сила" на частоте сох - со2:
62р'(r) J. С2Р (r) ____
~1п2 С° ~дг?
= - A sill ?('0i - со2) t - м2 cos 0) -f sin 0 j .
(V.2.2)
Здесь т] - пространственная координата, отсчитываемая вдоль направления
угла ф. Уравнение типа (V.2.2) уже обсуждалось в гл. IV, § 2; было
показано, что линейный рост р' с координатой т) возможен только в том
случае, если фазовые скорости "вынуждающей" и "собственной" волн равны
между собой (т. е. выполнено условие синхронизма). В данном случае нужно
потребовать, чтобы
йвьш = (мХ - (c),)2/с'о, ИЛИ
(а>1 - (О2 COS 0)2 -|-+ ((02 sill 0)2 = (cdj - (О.,)2.
(V.2.3)
Нетрудно видеть, что лишь при 0 = 0, когда имеет место коллипеарное
распространение всех трех волн: (ох, со2, (Oj - со2 (т. е. это
взаимодействие волн, а не рассеяние). В противном случае, 0 0,
условие синхронизма не выполнено, появляются
пространственные биения (см. рис. IV.2), и амплитуда р' рассеянной волны
не может стать значительной по величине.
Отсутствие синхронного рассеяния в недиспергирующей среде можно показать
еще проще, если прибегнуть к помощи фононных представлений. Процесс
образования
Рис. V.8. Пучки волн, пересекающиеся в плоскости х, у под углом 0.
условие (V.2.3) выполняется
116
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
фонона комбинационной (например, суммарной) частоты должен удовлетворять
законам сохранения энергии и квазиимпульса:
Поскольку дисперсии нет, | ki | = оц/с0 (г = 1, 2, 3), и вместо (У.2.4)
получаются простые соотношения
где ev е2, е3 - единичные векторы в направлении распространения волн (ох,
щ, о)3. Очевидно, что система (V.2.5) совместна только тогда, когда е11|
е21| е3; в противном случае фононы не могут, эффективно взаимодействовать
между собой.
Выяснив, что в недиспергирующей среде синхронного рассеяния нет,
рассмотрим некоторые особенности дифракционного рассеяния звука на звуке,
следуя в основном работам [72, 73].
В качестве исходной системы уравнений воспользуемся уравнениями Эйлера
(В.1.1) - (В.1.3), которые выпишем с точностью до членов второго порядка
малости включительно:
Из уравнения (V.2.7) переменная//, как обычно, исключена с помощью
приближенного уравнения состояния р' = с]р' (у - 1)р''/2р0. Систему
(V.2.6), (V.2.7) удобно свести к одному уравнению; для этого надо взять
div от обеих частей уравнения (V.2.7) и вычесть из этого уравнения
(V.2.6), предварительно продифференцированное по времени:
Йсщ + /ш2 = Йсо3, Й&х + Кк2 = tik3. (V.2.4)
(r)i + <в-2 - со3, е1гл1 -]- e2co2 - e3co3, (V.2.5)
+ p0 div v = - div (р'г>), (V.2.6)
(V.2.7)
Ap'2 + -TdLv[v^- - p0(vy)vl . (V.2.8)
co L d J
§ 2. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НА ЗВУКЕ
117
Если не учитывать нелинейные члены второго порядка малости, стоящие в
правой части (V.2.8), придем к обычному волновому уравнению, описывающему
распространение невзаимодействующих друг с другом волн со15 со2:
vx = sin сох (г - -^-) +
-{- v2 cos 0 • sin to2 (t -
Co
¦ COS 0
- sin e)
с 0 /
/у ---------- L'2
Pn
Vo Sin b-SIH (0.
Vi sm щ
2[t cos0 ^-sin0j, (V.2.9 i
i Rf
+ - i'o sm co2
CO
(t --i-
V со
COS I
sin0j .
Используя выражения (V.2.9) в качестве решения первого приближения и
подставляя их в правую часть уравнения (V.2.8), можно получить уравнение
второго приближения следующего вида:
\ Я20'(2)
ДР'(2)- - =-4яд. (V.2.10)
'о
Правая часть этого уравнения
4я q
V1V2
2 г4 о
ро {(и1 - (r)2)2 cos 0 - сохсо2 (I - cos 0)2 -j-
+ (со2 - 2оо1со2 cos 0 + w2)} x
X cos
((r)i - М2) t ¦
- (:oj - co2cos0) -f- -(O2sin0 (V.2.11)
играет роль источника вторичных воли с плотностью д, появляющихся в
результате взаимодействия. В выражении (V.2.11) сохранена компонента
"вынуждающей силы" только на разностной частоте Q = сщ - со2.
Рассмотрим вначале более простой случай 0 = 0, когда исходные пучки
распространяются в одном направлении. Длину области взаимодействия вдоль
продольной оси х можно ограничить специальным акустическим
118
Гл. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
фильтром, непрозрачным для частот со 1? ш2 и прозрачным для рассеянных
сигналов. При 0 = 0 выражение (V.2.11) примет более простой вид
- 4яд = cos Q (t - \ . (V.2.12)
2с* ' с" /
После несложных преобразований формула (У.2.12), естественно, может быть
сведена к правой части уравнения (V.1.4).
Как известно, решение уравнения (V.2.10), определяющее вторичное поле
вдали от области взаимодействия - в некоторой точке М (х, у, z) в момент
времени t - представляется в виде запаздывающего потенциала
р'(2) = f д (J/' уz'^1 ^ r/co) dx dy' dz', (V.2.13)
v
где г - расстояние между точкой М' в области пересечения и точкой М
наблюдения:
г = У (х - х')2 + (у - у'у1 + (Z - 7,'У ^г0-х'-^ -
- - . (V.2.14)
V Г(> 7'о 4 7
Здесь га = Ух2 -j- у2 -f z2 - расстояние от начала
координат до точки наблюдения (см. рис. V.9). Введем для
удобства вспомогательную сферическую систему координат, полярная ось
которой совмещена в осью х; сферические и декартовы координаты точки М
