Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
в область низких частот. При этом амплитуда волны (V.1.5), являющаяся
величиной второго приближения, может превысить амплитуду г^. Это
обстоятельство, однако, не означает здесь неприменимость
104 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
метода последовательных приближений, так как величины более высоких
приближений, как показывает соответствующий расчет, остаются малыми.
Простая количественная оценка отношения амплитуды волны Q, взятой в
области ее максимального значения, к корню квадратному из произведения
амплитуд исходных волн, приводит к вы-
max Р q л тэ "
ряжению - - Re 1, т. e. при малых числах Реи-
V гсцгсг ш нольдса эффект незначителен.
В случае амплитудно-моАудированного сигнала (V.1.2) вычисления,
аналогичные тем, которые проводились выше для граничной задачи (V.1.1),
позволяют получить во втором приближении решение
В соответствии с решением (Y.1.6) при распространении амплитудпо-
модулированной волны в нелинейной среде выделяется волна с частотой
модуляции, амплитуда которой сначала нарастает, проходит через максимум,
а затем затухает медленнее, чем поглощается волна несущей частоты.
Количественная оценка отношения г>шах к амплитуде одной из волн боковой
частоты, взятой у излучателя, здесь та же, что и в задаче о
взаимодействии двух волн.
Если числа Рейнольдса велики, Re 1, то в уравнениях первого и второго
приближений следует опустить вязкостные члены. Решения второго
приближения, описывающие волну разностной частоты (граничная задача
(V.1.1)) и волну частоты модуляции (граничная задача (V.1.2)), имеют
соответственно вид
Vq = i/'2) =
26й)2
X ехр
УШ' \ ж-ч
--cosQt.
(V.1.6)
y(2)=_eOro^ginQ
2с2
(V.1.7)
vn = г(2) =
X COS Qt.
(V.1.8)
§ 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 105
Решения (V.1.7) и (V.1.8) применимы, однако, лишь вблизи излучателя на
расстояниях, не превышающих по величине отрезка L = с\1гю\^г01г02 для
граничной задачи (V.1.1) и L = Со/есог0 для граничной задачи (Y.1.2). На
расстояниях х = L формируется ударная волна. Таким образом, при Re ^ 1 и
амплитуда разностной
Рис. V.I. Амшштудномодулированная волна на входе системы (а) и ее аналог
треугольного профиля (б).
частоты и амплитуда частоты модуляции на участке х < L растут линейно с
расстоянием, пройденным волной от излучателя.
Рассмотрим гармоническую компоненту частоты модуляции на больших
расстояниях от излучателя, *>L. Такое рассмотрение невозможно на основе
закона, описывающего пространственное искажение волн. Следуя гл. I,
запишем решение задачи о распространении амплитудно-модулированных
колебаний в виде
сот = - (есож/со) Ф + Ф-1, (V.1.9)
где Ф - функция, заданная в форме (V.1.2) (рис. V.1, а), а Ф~1 - функция,
обратная Ф.
106 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Решение (V.1.9), описывающее пространственное искажение волны Ф,
справедливо лишь до тех пор, пока функция Ф = Ф (ют) однозначно зависит
от ют. На таких расстояниях от излучателя, где однозначность Ф (ют)
нарушается, следует вводить линии разрыва, геометрическое условие
определения которых сводится, как известно, к правилу равенства площадей.
На рис. V.2, а (тонкая линия) представлен один период высокочастотной
волны, которая вследствие
Рис. V.2. Один период амплитудтто-модулпроваттной волны в области
существования разрыва (я) и его аналог треугольного профиля (б).
модуляции несимметрична относительно точки v = 0. Естественно, что и
пространственное искажение обоих полупериодов такой волны в соответствии
с формулой (V.1.9) различно: искажения пропорциональны амплитуде. Жирной
линией на рис. Y.2, а отмечен профиль волны на некотором расстоянии х от
излучателя, а пунктиром отмечена линия разрыва, определяемая из условия
равенства площадей. Скорость фронта несимметричной слабой ударной волны
может быть вычислена как полусумма скоростей, обозначенных на рис. V.2, а
через vx (ютр) и v4 (ютр). Тогда
1
г-Ф - [г'1 ((r)тр) + щ (ютр)].
(V.1.10)
g 1. КОЛЛИНЕАГНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН Ю7
Рассматривая аналогично второй, третий и так далее периоды
высокочастотной волны, можно найти последовательность значений,
определяющих, по существу, закон смещения нулевых уровней, относительно
которых высокочастотная компонента расположена симметрично. Переходя к
следующему периоду волны модуляции, нетрудно получить ту же
последовательность значений Гф, которая тем самым является периодической
функцией Qt. Таким образом, определяя значения Гф как функцию расстояния,
пройденного волной от изучателя, мы фактически найдем закон, описывающий
распространение волны с частотой модуляции vn = Гф в области
существования периодических ударных волн.
Количественная оценка эффекта наиболее простым способом может быть
произведена путем замены синусоидальной волны высокой частоты волной
треугольного профиля, как показано на рис. V.1, б. Пространственное
искажение одного периода такой волны изображено на рис. V.2 б, где, как и
в случае синусоиды, тонкой линией отмечен первоначальный профиль волны,
