Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
в ряд по малому запаздыванию 0' - 0 в окрестности точки 0:
5-=-^+w(e'-e) + --- (IV-3-14)
Подставляя первые два члена разложения (IV.3.14) в уравнение (IV.3.13) и
выполняя интегрирование, получим
dV т/ dV п Г 82V , .о 53Р 1 /ТЛ7- . с,
-te-v-M=D т-Ж-(сот) -щг. (IV-3-15)
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
97
- это так называемое уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса [17].
Первый член его правой части связан с наличием диссипации, второй -
дисперсии.
Как известно (см., например, [17]), при отсутствии диссипативного] члена
уравнение (IV.3.15) описывало бы процесс распада (начального возмущения
произвольной
Рис. IV.5. Пульсации у вершины пилообразной волны.
формы на ряд слабо взаимодействующих между собой одиночных импульсов -
солитонов. Наличие достаточно сильной диссипации приводит к "сглаживанию"
процесса распада, и солитоны могут не образоваться. Именно этот случай
реализуется для волн в релаксирующей среде, поскольку сот <^; 1 и первый
член в правой части уравнения (IV.3.15), как правило, много больше
второго.
Тем не менее при не слишком малых сот (сот ^ 1 - этот случай наиболее
труден для аналитического рассмотрения) и при наличии достаточно крутых
перепадов в профиле волны, на которых d3VldQ3 ]> d2V/dQ2, диссипативный и
дисперсионный члены могут быть сравнимы по величине. Именно влияние
дисперсии, по-видимому, ответственно за образование слабых пульсаций
около
4 О. В. Руденко, С. И. Солуян
98 гл. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
вершины пилообразной волны (рис. IV.5), наблюдаемых в эксперименте [35].
Для качественного описания искажения волны в предельном случае сот<^;1
заметим, что на первом этапе распространения волны (до момента
образования разрыва) правой частью уравнения (IV.3.15) можно пренебречь.
При этом деформация профиля происходит точно так же, как и в обычной
недиссипативной среде. В окрестности точки а = 1 пренебрежение
релаксационными процессами уже неправомерно, и форму профиля можно
получить
с помощью "сшивания" стационарного скачка ((IV.3.5), рис. IV.3),
описывающего структуру фронта, и прямолинейного участка пилообразной
волны [68]:
И=ттт[-^ + "/(-?)]•
(IV.3.16)
где 6 = (1 -f- сг)/(л/2сот/)) - безразмерная ширина фронта ударной волны.
Выражение (IV.3.16) отличается от решения (II. 2.10) ддянерелак-сирующей
среды только вторым членом в квадратнойскоб-ке, где вместо
гиперболического тангенса, описывающего структуру слабого разрыва в среде
с обычной вязкостью, стоит выражение / (соу), взятое из формулы (IV.3.5).
Полученные па основе такого сшивания профили одного периода волны
изображены на рис. IV.6, а, б для D > 1, D О 1.
Заметим, что влияние релаксационных процессов при (от^1 приводит лишь к
появлению асимметрии волны. Однако эта асимметрия по мере распространения
волны уменьшается, и на больших расстояниях ударная волна превращается в
синусоидальную.
Рис. IV. 6. Профили одного периода волны в случае преобладания
дисперсионных (а) и нелинейных (б) свойств среды.
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 99
В другом предельном случае, когда (от!^>1, для упрощения уравнения
(IV.3.13) нужно заметить, что экспонента в пределах одного
периода волны меняет-
ся незначительно по сравнению cdV/dQ' и ее можно разложить в ряд: 1 -{-
(0' - 0)/(от 4- . . . Тогда вместо
(IV.3.13) получим уравнение
которое еще более упростится, если перейти к повой сопровождающей системе
координат: а' = o', 0' - со (t - - (ж/Соо)), бегущей со скоростью сх:
Решение этого уравнения при начальном возмущении V sin 0' (при а' - 0)
имеет вид [69]
0' = arcsm (Ve^ )--Lу (I ~ е "r ) (Ve ). (IV.3.19)
Соотношение (IV.3.19) записано в форме, удобной для графического анализа.
Действительно, отложив по оси
абсцисс Ve"т , а по оси ординат 0' (так, как это делалось на рис. 1.8 при
анализе выражения (1.5.1)), можно проследить искажение полного профиля в
зависимости от расстояния, пройденного волной, так как 0' находится
сложением двух функций - арксинуса и линейной функции, описывающей прямую
с угловым коэффхгциентом
приведенного расстояния. На расстояниях, соответствующих Z~i, начинается
процесс формирования разрыва, который заканчивается при Z = л/2.
Приведенное расстояние зависит от а нелинейно, имея характерную область
насыщения, где Z оо - сот ID.
Если начальная амплитуда г0 достаточно мала, так что на любых расстояниях
значение Z < 1, то разрыв не формируется вовсе. Если же начальная
амплитуда столь
(IV.3.17)
Угловой коэффициент Z имеет смысл
100 гл. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
велика, что Z^^l, нелинейные эффекты вначале превалируют над эффектами
диссипации энергии, и формируется ударная волна. Сформированная
пилообразная волна уменьшается с расстоянием по амплитуде. Следует
подчеркнуть, что хотя волна может иметь разрыв и при очень больших а, на
расстояниях, удовлетворяющих соотно-
Ра'
шению еш~ Z^, процесс распространения описывается уже линеаризованными
