Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
условиях сходящаяся волна конечной амплитуды может за счет диссипации
превратиться в волну бесконечно малой амплитуды, а затем за счет
схождения к фокусу системы вновь стать волной конечной амплитуды вплоть
до превращения в ударную волну.
Не следует полагать, что этот процесс может быть повторен многократно.
Ширина фронта ударной волны имеет единственный максимум.
На рис. III.4 приведена зависимость амплитуды скорости в сходящейся
цилиндрической волне от расстояния от излучателя - амплитудная часть
решения (111.5.5). Для сравнения там же пунктиром приведена кривая,
соответствующая линейной теории. Область (Z(1> - Z<2)) как раз
соответствует области диссипативного расширения ударного фронта.
Все изложенное на примере цилиндрической сходящейся волны в paBHOiij
степени относится и к сходящимся сферическим волнам, для которых без
труда можно воспроизвести все выполненные выше оценки, исходя из формул
(III.5.4) и (III.5.3).
Рис. III.4. Зависимость амплитуды скорости в сходящейся цилиндрической
волне от расстояния (сплошная линия). Штриховая кривая соответствует
линейной теории.
ГЛАВА IV
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
§ 1. О дисперсионных свойствах среды.
Среда с релаксацией
В главе I при рассмотрении римановых волн было показано, что между
переменными р, р, v существует связь
т. е. значение скорости v в некоторый момент времени и в фиксированной
точке пространства однозначно определяет соответствующие давление и
плотность. Локальный характер связи (IV.1.1) приводит к отсутствию
дисперсии в акустике идеальной и безграничной среды: волны бесконечно
малой амплитуды, имеющие различную частоту со, распространяются с одной и
той же скоростью с0. Зависимость волнового числа к от со при этом
линейна:
Однако уже при учете слабого поглощения получается выражение (см.
(В.1.28))
в котором мнимая добавка ответственна за диссипацию волны (иногда
поглощение, зависящее от со, называют мнимой дисперсией). Соответствующие
связи волновых параметров становятся нелокальными (II.1.12), (II.1.13).
Вообще говоря, соотношение (IV. 1.3) является неточным,
Р = Р И, Р = Р (v) ,
(IV.1.1)
к = ±
со
Со
(IV.1.3)
i 1. СРЕДА С РЕЛАКСАЦИЕЙ
83
и следует писать
* = ± [1 + Р' N + Ф" И], (IV.1.4)
где действительный |3' (со) и мнимый г|3" (со) члены, определяющие
дисперсию и поглощение, связаны фундаментальными соотношениями,
вытекающими из принципа причинности (аналогичными формулам Крамерса -
Кро-нига в электродинамике). Отсюда следует, что диспергирующая среда
принципиально является средой поглощающей и для определения |3" (со)
достаточно знать частотную зависимость |3' (со).
Из физических соображений также ясно, что воспользовавшись законом
дисперсии (IV. 1.3), где учтено только поглощение, мы совершили некоторую
ошибку. Действительно, одним из эффектов, вызванных затуханием звука,
будет возникновение акустических течений (см. гл. VIII). В результате
поглощения волны среде передается определенный импульс, и она приходит в
движение. Скорость распространения волны в движущейся среде уже
отличается от с0, что эквивалентно появлению дисперсии.
В общем случае, для линейной среды, связь между параметрами волны,
например р' и р', выражается функционалом
(
р = ^ dt' §?<("•, г', t, t')p (г', t')dr'. (IV.1.5)
- оо
Если среда однородна и не изменяет со временем своих свойств, то ядро и
(г, г', t, t') зависит только от разности пространственных и временных
переменных г - г', t -t'. В тех случаях, когда поле в данной точке не
определяется полем в других точках, ядро
% (г - г', t - t') - б (г - г') •% (t - t'), (IV.1.6)
т. е. процесс обладает свойством локальности в пространстве.
Это условие выполнено при длинах волн которые много больше характерного
внутреннего размера - длины свободного пробега молекул в жидкостях и
газах, или размеров кристаллической решетки в твердых телах.
,84 ГЛ. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Условие локальности в пространстве выполняется для волн ультразвукового
диапазона, но может нарушаться для гиперзвука либо в случае среды с
искусственной неоднородностью.
С помощью (IV.1.6) функционал (IV..1.5) приводится к виду
t
р' ^ %(t - t') р' (f) dt'. (IV.1.7)
-оо
По аналогии с (IV. 1.7) можно записать нелинейные члены, получающиеся при
разложении р по степеням р':
р' = р'( 1) + р'т + р'(3) + ..., •
где
t v
р'"= \ dt' \ %(t-t' -t")p' (t')p' (t")dt" (IV.1.8)
ОС -оо
описывает квадратичные нелинейные эффекты, а t v t"
р'(3) = S Л' $ dt" 5 Q(t - f - t" - t"') p' (f) p' (**) X
- OO -00 -00
xp'(i'")r (IV.1.9)
- кубичные. В нелинейной акустике обычно ограничиваются рассмотрением
квадратичных нелинейных членов, поскольку в силу малости числа Маха
выполнены неравенства
р'&) > р'(" >р'( 3)>... (IV.1.10)
Для нахождения явного вида выражений я, %, 0 необходимо, вообще говоря,
учитывать внутреннюю структуру среды и применять методы микроскопической
теории. Однако ряд важных результатов может быть получен с помощью
