Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь сг, сг - фазовые скорости волн с частотой м и 2м соответственно.
Правая часть уравнения (IV.2.1) имеет смысл "вынуждающей силы", наличие
которой может привести к появлению не только второй гармоники (м + + со =
2м), но и постоянной составляющей (м - м = 0). Поскольку акустическое
детектирование здесь не рассматривается, надо оставить лишь фурье-
комноненту правой части на частоте 2м, и уравнение (IV.2.1) примет вид
где A, q. - константы, определяемые явным выражением для V2. Общим
решением уравнения (IV.2.2) будет сумма решений однородного уравнения {А
= 0) и частного решения неоднородного уравнения (А Ф 0). Соответствующие
волны, описываемые этими решениями, могут быть названы собственной и
вынужденной волнами:
4об = 4об (х = °) 'sin (2orf - + Фг)" > (! V.2.4)
Чтобы удовлетворить граничному условию - отсутствию второй гармоники в
начале координат (при х - 0), положим произвольные константы равными
[2ю 0 ~ тг) + Ф ' (IV-2-2)
(IV.2.3)
здесь
^ВЫН ----
со
Cl
(IV.2.5)
После несложных преобразований уравнений (IV.2.3) -
90 гл. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
(IV.2.6) придем к выражению 2 Л . / к 2 - 2&1
у(2)
sin
2
X COS
2юt ¦
(IV.2.7)
согласно которому амплитуда волны частоты 2а> не остается постоянной, а
испытывает биения в пространстве. Амплитуда и пространственный период
этих биений определяются величиной расстройки А = | к2 - 2кг |.
Как показано на рис. IV.2, с уменьшением А период и амплитуда биений
|возрастают. Предельпый случай
Рис. IV.2. Процесс генерации второй гармоники в зависимости от
дисперсионных свойств системы.
А -> О соответствует синхронному, накапливающемуся взаимодействию: при
этом раскрытие неопределенности
вида sin (-у-) /~1ГВ Ф°РмУле (IV.2.7) приводит к линейному закону
нарастания амплитуды второй гармоники. В общем же случае, при А ф 0,
монотонное возрастание амплитуды происходит только на отрезке 0 х ^
1Ког2> где
Jt
( кг ¦- 2к\ [ 2ш | ci - Сг I
(IV.2.8)
§ 2. СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ
91
- так называемая "длина когерентного взаимодействия" (см. [10]) между
волнами м, 2оз. По аналогии можно ввести Когерентные ДЛИНЫ /Когз> ^ког4>
• • •> 4ог п> • • •
С помощью выражения (IV.2.8) мы сформулируем, следуя [10], условие
разделения сред на сильно- и слабо-диспергирующие.
О сильной дисперсии говорят, когда расстояние жр (см.
(1.5.2)), на котором в недиспергирующей среде (обладающей теми же
нелинейными свойствами, что и рассматриваемая реальная диспергирующая
среда) образуется разрыв, много больше, чем все /Когп (за исключением,
быть может, небольшого числа когерентных длин для низших гармоник, т. е.
п > 2-3). Случай сильной дисперсии реализуется в подавляющем большинстве
практически интересных задач: в нелинейной оптике [10], волнах в плазме
[13], в теории поверхностных волн [65, 66] и т. д. Волнам в
сильнодиспергирующих средах посвящена обширная литература, в которой
отражены как физические результаты, так и математические методы их
получения (см., например, обзоры [15, 16]). На этих методах мы коротко
остановимся в гл. VI, где будет рассматриваться случай сильной дисперсии
применительно к проблемам нелинейной акустики.
В тех случаях, когда выполнено обратное неравенство
^р^^когп, (IV.2.9)
о среде говорят как о слабодиспергирующей. Поскольку для формирования
пилообразной волны можно взять конечное число гармоник N ~ 10, достаточно
потребовать выполнения неравенства (IV.2.9) только для первых ~ N
когерентных длин.
Покажем, что условие (IV.2.9) выполняется для среды с релаксацией. Для
этого заметим, что
тГ
min {/ког п} > -S-7---- = ^ (IV.2.10)
l kui ^ 2М - Со) ШОТ 4 '
и неравенство (IV.2.9) накладывает следующее ограничение на величину
чисел М, т, т. е. на соотношение между нелинейными и дисперсионными
свойствами среды:
т ,яеМ.
(IV.2.11)
92 гл. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Это ограничение является сильным в том смысле, что выполнение его
гарантирует условие (IV.2.9) для любого номера п независимо от конкретной
формы дисперсионной характеристики (IV.1.26) и выбранной частоты со
первой гармоники. В дальнейшем при рассмотрении волн в ре-лаксирующих
средах будет всюду предполагаться, что неравенство (IV.2.11) выполнено.
Это предположение позволит использовать при анализе тот же
асимптотический метод (основанный на факте медленности искажения профиля
волны в сопровождающей системе координат), который применялся ранее в гл.
II, III.
§ 3. Распространение конечных возмущений
в релаксирующей среде
Схема получения основных уравнений теории нелинейных волн в среде с
релаксацией стандартна и уже использовалась в других разделах (см.,
например, гл. II, § 1).
С помощью нового уравнения состояния (IV. 1.19) из уравнения движения
(В.1.4) можно исключить переменную р'. Затем, переходя в одномерном
случае к сопровождающей системе координат, отбрасывая малые члены выше
чем второго порядка малости, придем к двум уравнениям вида (II.1.8),
