Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
фронта сферической и цилиндрической ударных волн. Ширина фронта не
остается постоянной по двум причинам.
Во-первых, происходит "рассасывание" фронта ударной волны, обусловленное
уменьшением ее амплитуды из-за поглощения. Так что безразмерная ширина
фронта 8 растет, как [ In (r/r0) [ для сферических волн и как | 1 -
Уг/г01 для цилиндрических волн. Этот диссипативный механизм рассасывания
полностью аналогичен соответствующему механизму, действующему в случае
плоских волн. Он одинаков как для сходящихся, так и для расходящихся
пространственно-симметричных воли.
Во-вторых, и главным образом, ширина фронта 8 не остается постоянной из-
за наличия в формулах (II 1.5.4) и
(III.5.6) множителей (г/г0) и У г/г0 соответственно. Обусловленное этими
множителями изменение ширины фронта ударной волны проявляется по-разному
для расходящихся волн (г/г0) )> 1, Уг/г0 )> 1 и для сходящихся волн
(г/г0) < 1, Vr/r0 < 1.
§ 6. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ 79
Определив, таким образом, общую структуру проект ранственно-симметринных
волн на втором этапе их распространения при одновременном учете
нелинейных и диссипативных эффектов, можно дать полное описание
распространения сферических и цилиндрических волн, которое будет
проведено отдельно для расходящихся и сходящихся волн.
Расходящиеся сферическая и цилиндрическая волны при определенных условиях
образуют ударную волну, а именно, при надлежащем подборе радиусов
пульсирующих сферы и цилиндра, амплитуды и частоты гармонических
пульсаций. Так как обе тенденции изменения ширины фронта ударной волны в
расходящихся волнах однонаправленны, то образовавшиеся ударные фронты
весьма быстро "рассасываются" и при достижении безразмерной шириной
фронта б величины порядка л волны вновь становятся синусоидальными.
Амплитуды волн при этом уменьшаются, как y0/Re, так что за координатой
"рассасывания" ударного фронта (в третьей области распространения волны)
вполне правомерно описание распространения расходящихся волн законами
линейной акустики.
Однако легко может быть реализован и такой случай, когда начальные
условия таковы, что координата формирования ударного фронта находится
дальше от источника гармонических пульсаций, чем координата рассасывания
разрыва. Это абсурдное, на первый взгляд, положение означает лишь то, что
за счет расходимости волна конечной амплитуды раньше превращается в волну
бесконечно малой амплитуды, чем в ней успеют сколь-инбудь заметно
проявиться накапливающиеся нелинейные эффекты.
В сходящихся волнах нелинейные параметры и факторы схождения влияют
противоположно. Нелинейные параметры по-прежнему вызывают увеличение
ширины фронта, тогда как факторы схождения сужают ударный фронт. На рис.
Ill.3 приведены три кривые, дающие зависимость ширины ударного фронта от
безразмерного расстояния, пройденного волной от источника возмущения к
фокусу системы. Все три кривые имеют максимумы, хотя построены для
различных излучающих систем. В точном соответствии с решением (III.5.6)
цилиндрическая волна образует фронт максимальной крутизны
80
ГЛ. III СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
порядка -~1/я Re при достижении параметром нелинейных искажений величины
ж л/2. В то же время безразмерная ширина фронта как функция пройденного
волной расстояния имеет максимум, равный (1 + 2Z0)2/16 л Re ZQ, который
достигается в точке rmax = (1 + 2 Z0)2r0/16Zo. Затем ширина фронта
убывает и стремится к нулю в фокусе системы.
Если не рассматривать тот специальный случай, о котором упоминалось в §
3, когда цилиндрическая сходящаяся волна не успевает образовать ударный
фронт, то
Рис. II 1.3. Ширина фронта сходящейся ударной волны как функция
безразмерного расстояния; точки Z^ и
2(г)
соответствуют значениям б == п.
наше описание вполне справедливо. Напомним, что за вычетом упомянутого
специального случая, для сходящейся цилиндрической волны условия
применимости квази-стационарного решения' выполняются всегда. А это
означает, что сходящаяся цилиндрическая волна формирует ударный фронт
дважды и'"'процесс фокусировки разбивается на три этапй: первичное
формирование ударного фронта, его частичное или полное "рассасывание" и
вторичное и окончательное формирование ударного фронта при приближении к
фокусу системы.
Кривые 1 и 2 на рис. III.3 как раз иллюстрируют частичное рассасывание
ударного фронта. Величина и положение их максимумов различны в
зависимости от начальных параметров фокусирующей системы. Кривая 3
§ 6. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ 81
относится к случаю полного рассасывания ударного фронта, а ее пунктирная
часть к той области распространения волны, когда ширина ударного фронта 8
формально занимает фазовый интервал больше п. При достижении же фронтом
волны фазового интервала в л, волна перестает быть волной конечной
амплитуды и превращается в бесконечно малую звуковую волну.
Следовательно, кривая 3 не только иллюстрирует двукратное формирование
ударного фронта, но и отмечает весьма любопытный факт: при определенных
