Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
"ухудшенными" аналогами плоских волн. В сходящихся волнах картина
обратная. Здесь накопление нелинейных эффектов протекает весьма бурно, но
не только в силу схождения. В формулах (III.2.2) и (III.2.3) схождение и
расхождение волн учтено в соотношениях, стоящих в квадратных скобках,
когда пропорциональное уменьшение отношения, например г к г0,
компенсируется соответствующим увеличением
(ozvo In -f
и
§ 2. СРЕДА БЕЗ ДИССИПАЦИИ
69
отношения v к v0, т. е. выбранный масштаб позволяет нам рассматривать
амплитуды сходящихся и расходящихся волн как неизменные. В то же время
сами нелинейные
параметры | In (г/г0) | и | 1 - Уг/г01 при значениях г < г0 уже не
являются столь медленными, как это имеет место для расходящихся волн.
Остановимся еще на одной особенности, присущей только сходящимся
цилиндрическим волнам: при определенных значениях исходных параметров в
сходящейся цилиндрической волне ударная волна не возникает вообще. В
самом деле, разрыв возникает при значении углового коэффициента
Z2 - 2 --(ov0r0 со
-1/Z
У г о
= 1. (III.2.4)
Поэтому если параметры излучающей цилиндрической поверхности выбраны так,
что (е/сд) сог0г0 << 1/2, то ни при каких значениях г ¦< г0 условие
образования ударных волн (III.2.4) не может быть реализовано. Отсюда
следует, что для существенного накопления нелинейных эффектов в
сходящейся цилиндрической волне необходимо, чтобы радиус, частота и
начальная амплитуда пульсирующего цилиндра были достаточно велики, чтобы
выполнялось условие (е/ср coi>0r0 1.
Процесс изменения спектрального состава сферических и цилиндрических
волн, обусловленный нелинейными искажениями их формы при распространении,
может быть описан аналогично тому, как это делалось ранее применительно к
плоским волнам. Гармоническая в точке г = г0 волна изменяет свой профиль
согласно формулам (III.2.2) и (III.2.3). Переписывая эти формулы в виде
sin [nx + JLашоГо In J- , (III.2.5)
v0r О
О
¦wV-k =5in |1 - V-7TI 9/ Vi;}] '
(III.2.6)
мы найдем решения этих трансцендентных уравнений в
70 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
виде рядов Фурье:
ОО
(III.2.8)
(III.2.7)
Входящие сюда коэффициенты Efn и Вп'1 представ-
ляют собой совокупность двух членов, первый из которых доминирует в
области значений угловых коэффициентов 0 ^ Zx, Z2 ^ 1 и соответствует
амплитуде п-й гармоники в решении Бесселя - Фубини в случае плоской
волны, а второй дает основной вклад в области Zx, Z2 О 1 и при значении
Zx, Z2 1 принимает особенно простой вид. Таким образом,
где Jn - функция Бесселя и-го порядка.
Последние соотношения позволяют рассмотреть изменения гармонического
состава волны. На начальном участке распространения волны Zh2 1 после
разложения в ряд функций Бесселя в области малых значений аргумента
получим для сферической и цилиндрической волн следующие соотношения:
1,2
(III.2.9)
о
(III.2.11)
Из приведенных формул видно, что нарастание гармоник в сферических и
цилиндрических волнах происходит
§ 3. ДИССИПАТИВНАЯ СРЕДА
71
по-разному. Этот изложенный на спектральном языке факт находится в полном
соответствии с результатами гидродинамического рассмотрения проблемы,
проводившегося в первой половине этого параграфа.1
§ 3. Диссипативная среда.
Квазистационарные решения
Выше показано, что, за исключением специально выбранной сходящейся
цилиндрической волны, во всех случаях распространение сферических и
цилиндрических волн сопровождается образованием разрывов, т. е. приводит
к возникновению ударных волн, когда неправомерно пренебрежение
диссипативными эффектами.
Не имея возможности дать точные аналитические решения уравнений (III.1.5)
и (III.1.6), мы пойдем по пути поэтапного упрощения задачи. На первом
этапе, когда были отброшены правые части уравнений (III.1.5) и
(III.1.6), мы получили решения, справедливые вплоть до образования
разрывов, покуда гидродинамические параметры волны еще однозначны. На
следующем, втором этапе мы решим вспомогательную задачу о распространении
одиночного скачка уплотнения в среде. Такое решение позволит нам найти
структуру фронтов сферической и цилиндрической волн.
Граничные условия для задачи о распространении одиночного скачка
уплотнения в переменных U, z, т для уравнений (III.1.5) и (III.1.6) можно
сформулировать следующим образом:
U {z, +оо) = U0, U (г, -оо) = -?/0. (III.3.1)
Мы ограничимся получением приближенного квазистацио-нарного
аналитического решения сформулированной задачи, которое находится в
хорошем согласии с результатами численного интегрирования.
Полагая, что производная dU/dz в уравнениях (III.1.5) и (III.1.6) много
меньше остальных членов уравнений, мы получим укороченные уравнения,
которые являются уже обыкновенными дифференциальными уравнениями и легко
интегрируются. В теории плоских волн такая операция вполне правомерна.
Она позволяет найти профиль
72 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
стационарной волны, распространяющейся в среде оез искажения формы. Для
