Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
сферических и цилиндрических волн это не так, поскольку изменение
амплитуды при схождении и расхождении волн препятствует формированию
стационарных волн.
Стационарная плоская волна возникает вследствие уравнивания диссипативных
и нелинейных эффектов, когда нелинейное "захлестывание" компенсируется
диссипативным "рассасыванием" фронтов. В сферических и цилиндрических
волнах к этим факторам добавляется еще явление схождения и расхождения. И
все же можно выделить некоторый интервал на пути следования волны, когда
решения, которые, в отличие от точного стационарного решения в теории
плоских волн, мы называем квазиста-ционарными, справедливы с достаточной
степенью точности.
Эти решения для сферических и цилиндрических волн имеют соответственно
вид
<П1-*гГ
<ШАЗ>
А условия применимости их могут быть представлены в виде
MSW" 2М.ВДО.). >L (Ш 3 4)
(Ъ ехр z)/c3po 6/с(r)ро
Эти условия применимости квазистациопарных решений несколько различны для
цилиндрических и сферических волн. Квазистационарное решение для
цилиндрических волн справедливо всегда при условии
сог0у0 >-~ Re, (III.3.5)
со
которое получено из формулы (III.3.4) домиожением числителя и знаменателя
на частоту со независимо от того, является волна сходящейся или
расходящейся. Для сферических волн соотношение (III.3.4) преобразуется
§ 4. АВТОМОДЕЛЬНЫЙ ПОДХОД
73
в безразмерных координатах к виду
Z0Re z!Z0, Z0 = есогу0/со (III.3.6)
и, если только оно справедливо в точке г0, то для сходящейся сферической
волны оно справедливо всегда. Для расходящейся сферической волны на
некоторых расстояниях Znp соотношение (III.3.6) перестает быть
справедливым. Определяя предельное значение Znp из условия ^пр = Z0Re,
легко видеть, что в практически наиболее интересном случае больших чисел
Рейнольдса и не малых значений Z0 пределы применимости квазистационарного
решения достаточно широки и для расходящихся сферических волн.
Найденные квазистационарные решения вместе с решениями укороченных
уравнений, полученными в § 2, позволят нам сконструировать общие
приближенные решения, справедливые во всей области распространения волны
от момента формирования ударных фронтов. Прежде, однако, мы найдем одно
точное решение уравнения
(III.1.6), имеющее характер стационарного скачка возмущения и свободное
от ограничений, свойственных ква-зистационарным решениям.
§ 4. Структура цилиндрической ударной волны.
Автомодельный подход
Уравнение (III.1.6) с помощью замены U = <р (?), где ? = xlz, приводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению [63]:
Ь (72ф
4Сд00го
о
Решая это уравнение и возвращаясь к исходным переменным U, т, z, получим
74 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Приведенная параметрическая форма решения наиболее удобна для анализа. На
рис. III.1 построена подкоренная функция / (ц) - ц - се ~2Я и ее
асимптотика при с = 0.
Заметим, что при значении константы с = 0 формулы
(III.4.2) и (III.4.3) дают решение линейного уравнения dU bz д*и п
------- j-r- = 0 , справедливого для систем, характе-
OZ 4с"роГо °х
ризуемых бесконечно малым числом Рейнольдса. Задаваясь определенным
значением постоянной с, можно рассматривать системы с произвольным
соотношением между нелинейными и диссипативными свойствами среды, т. е.
при произвольных значениях числа Рейнольдса, за исключением бесконечно
больших, когда в исходном уравнении (II 1.1.6) можно положить Ъ = 0.
Значение параметра г|0 соответствует обращению в нуль функции / (ц).
Именно в окрестности точки т]0 наиболее сильно проявляются нелинейные
свойства. При уменьшении числа Рейнольдса точка Т10->-0 и функция / (ц)
слабо отклоняется от линейного закона. Поэтому наибольший интерес
представляет исследование поведения найденных решений (III.4.2) и
(III.4.3) в окрестности точки г|0, где подкоренная функция / (ц) с
помощью разложения по малому параметру jx = т] - г|0 может быть
представлена в виде
/СП) = Л ~ се-2" ^ц(1 + 2т10). (III.4.4)
После замены с помощью соотношения (III.4.4) подкоренного выражения в
формулах (III.4.2), (III.4.3), интегрирования и исключения малого
параметра ц найдем
Рис. II 1.1. Вид функции f (л) = Ц - С °хр (-2тр и ее асимптотики (прямая
линия) при С - 0.
U
У Яб/2с(r)р0
Ро
УФ\ V 1+2Ло
-Ф
У1 + 2цо т
. VЬ/2cgf
?0П)
(III.4.5)
§ 4. АВТОМОДЕЛЬНЫЙ ПОДХОД
75
Автомодельное решение (III.4.2), (III.4.3) и справедливое при малых'
значениях параметра ц выражение
(111.4.5) одинаково применимы как к расходящимся, так и к сходящимся
цилиндрически-симметричным возмущениям в среде. При росте z (расходящаяся
волна) крутизна фронта уменьшается. Когда z уменьшается (сходящаяся
волна), крутизна фронта растет. Последнее явление имеет место при
фокусировке сигнала, и решения в этом случае справедливы в пределах
ограничений, принятых при выводе приближенного уравнения
(111.1.6).
Несмотря на то, что
автомодельния^подход позволил рассмотреть лишь частную задачу о
распространении одиночного скачка уплотнения, следует подчеркнуть, что
