Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
искажение импульса таково, что его профиль может быть разбит на четыре
характерные области (рис.
II.8, б), так что с одновременным смещением максимума амплитуды импульса
вправо от точки т = 0 у его краев образуются пологие участки (области 1 и
IV), на которых профиль импульса описывается следующими соотношениями:
Рис. II.8. Трансформация профиля импульса треугольной формы при
распространении в нелинейной поглощающей среде.
4Ро Г Ъх (
v==Twy [Ц^ехрЬ
Т2РоСр 2 Ъх
при т
У
(II.4.16)
2 Ьх
соР°
62
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕЯЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
4Ро Г Ьх { (3-~t)2p0c"
У2я (В2 у 2р(r)р0 ехр1 2Ьх
при т^>р. (II.4.17)
При этом границы первой и четвертой областей соответственно определяются
как n = - 2V2bx/clp0 и tiv = = Р + 1^2Ьж/сор0. Вторая область,
соответствующая значениям т в пределах 4^ V2Ь.г'су, отсчитываемых от
точки т = 0, является областью переднего фронта импульса. При х = х' она
достигает величины 1/eRe (в безразмерных единицах). В третьей области при
х О х' отклонение импульса от первоначальной конфигурации еще
незначительно.
Дальнейшее распространение импульса приводит к смещению максимума v в
направлении т ->- |5, к расширению областей I и IV, а также области
переднего фронта за счет уменьшения третьей области (рис. II, 8, в).
Импульс, затухая, стремится к симметричной форме, так что длительность
фронта не остается стационарной, а нарастает по закону Тф = V 2Ъх!с\р0,
пока вообще рассмотрение Тф физически оправдано. При достаточно больших
х, а именно при х = Re с2р2/2Рп для всех четырех
областей (рис. II.8, г) справедливо соотношение
2Р0 Г (3-т)4 1 /тт .
г = ^Г-ехр- ----------2- ---------------- . (II.4.18)
з I ^/CqPo ) у Re VePox/^cl
Здесь параметр ж2 совершенно аналогичен соответствующему параметру х0
(II.3.7) в граничной задаче v - г0 sin сот, а параметр х' -
соответствующему параметру граничной задачи (II .4.7).
Отметим, что площадь Р одиночного возмущения, затухающего на + оо, при
распространении не изменяется (см. гл. I, § 5). Чтобы это показать,
достаточно записать уравнение Бюргерса в виде
§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
63
и проинтегрировать по dx от -оо до + оо. Учитывая, что г2(+ оо) = 0,
(4; оо) --•= 0, получим
= О, Р = Р0 = const. (II.4.20)
Наконец, укажем на то обстоятельство, что преобразование переменных вида
v -v \av, х -v hbx, т -v Я°т оставит уравнение (II.1.10) без изменения,
если я - - 1, 6 = 2, с = 1. Исходя из инвариантности
уравнения Бюргерса по отношению к указанному преобразованию,
сконструируем инвариантную автомодельную подстановку:
1 -ер(¦¦¦!>Го ). (II.4.21)
Введение констант х0, т0 выражает собой тот факт, что в уравнение
Бюргерса не входят явно переменные х, т, т. е. оно переходит в себя при
преобразовании сдвига. С помощью этой замены уравнение (II.1.10) сводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции Ф (?). Интегрируя
его один раз, получим уравнение типа Риккати:
Ь •ф' + ^тФ2 + 4-?Ф = Со- (II.4.22)
2соР° 2со
Константу С0 можно положить равной нулю, если потребовать, чтобы функция
ф обращалась в нуль на бесконечности. Второе интегрирование дает
результат [63]:
Го Г (т -f- То)^ ]
v = - ехр - - I X
У 1 + ж/ж0 [ 2Ь (х -J- т0)/с"ро J
X
Ф/ ¦ Т + То ) + с
у гъ (х + To)/cjjpo
(II.4.23)
где Ф - интеграл ошибок. Формула (II.4.23) описывает несимметричное
колоколообразное возмущение, причем при с 1 это импульс сжатия, при с < 1
- импульс разрежения.
64 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Величина константы | с | характеризует степень асимметрии. При | с | ^ 1
импульс имеет крутой фронт, а при I с | 1 его форма близка к
гауссовой кривой. При рас-
пространении (х растет) импульс расплывается. Однако поскольку решение
автомодельное, существует система
Рис. II.9. Профили возмущений, отвечающих автомодельному решению
уравнения Бюргерса.
координат, в которой импульс имеет "застывшую" форму (см. рис. II.9).
Формула (II.4.23), разумеется, может быть получена и из общего решения
уравнения Бюргерса. Из нее следует, что асимптотическая фоима профиля
(при достаточно больших х) является универсальной для довольно широкого
класса начальных возмущений.
ГЛАВА 111
СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 1. Вывод уравнений
Процесс распространения сферических и цилиндрических волн конечной
амплитуды, излучаемых пульсирующими сферой и цилиндром, с качественной
точки зрения во многом подобен процессу распространения плоских волн.
Накапливающиеся нелинейные искажения приводят, как и в случае плоских
волн, к образованию разрывов, сопровождаемому интенсивным поглощением
звука.
Различия количественного характера обусловлены тем, что амплитуды
сферических и цилиндрических волн не остаются постоянными вследствие их
расхождения (или схождения). Это приводит к тому, что нарастание
нелинейных искажений происходит в ином темпе по сравнению с плоскими
волнами. Помимо количественного отличия характерных параметров -
координат - в сходящихся цилиндрических и сферических волнах возможно
