Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 16

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 81 >> Следующая

пройденному волной расстоянию от входа системы. Точка "разрыва"
соответствует расстоянию х1 = т0Со/ег>0, и при х р* хх функция становится
много-
58
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОИРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
значной, чго свидетельствует о неправомерности решения
(II,4.3). Главное значение интеграла теперь следует вычислить как сумму
его значений по малым участкам вблизи экстремальных точек уг и у2. Следуя
схеме, изложенной в предыдущем параграфе, найдем значения L\ и U2,
ф
\ г^~
-Л \
6)
Рис. II.7. Графический анализ решепия (II.4.3).
подставим их в формулу (II.3.2) и определим значение v после образования
"разрыва":
V = ь\
til (i/i/to) til (1/2/Td) I
(II.4.4)
где Y\ =
У с "о
7^ th zdz- ^ th г rizj
(t - уг)- - (t - ?/l)2
2te C°P"
. (11.4.5)
Значение | Y | нетрудно подсчитать, если учесть, что в
перевальных точка.у^^щ -- г/1,2) ~ :с ег0ж/со, и разложить интегралы от
гиперболических тангенсов по степеням т, ограничившись первым
приближением. Тогда v = = i;0th (т/т'), где параметр т' имеет смысл
длительности фронта ударной волны и после приведения к безразмерному виду
дает значение 1/с Re.
Таким образом, ширина фронта ударной волны Ьф = = с0Тф, установление
которой осуществляется вблизи точки хх, остается затем (в отличие от
синусоиды) стационарной и определяется формулой
Ьф = с0тф = g ре - (II.4.6)
§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
59
Особый интерес представляет рассмотрение следующей граничной задачи [61]:
v =
- v0,
v0,
30 <Т<0, О "с Т <б оо.
(И.4.7)
т. е. когда в начальной точке скорость задана в виде разрывной функции с
шириной фронта Ьф - с0Тф = 0. Естественно ожидать, что здесь с самого
начала скажется преобладание диссипативных процессов, так что
пространственный масштаб установления стационарной ширины фронта будет
теперь иным по сравнению с предыдущей задачей.
Итак, пусть в начальной точке скорость v определена соотношением
(II.4.7). Тогда
U
= 1 / с°Ро V 2 яЬх
ехр --г
(т - у)2
2Ьт/е(r)ро
dy ¦
ехр <
( У
(л - д)2
2Ьт/с(r)ро
dy
(II.4.8)
или после приведения выражений, стоящих в экспонентах, к квадратичной
форме получим
U
где
1
V Л
ехр
е2гф;ро.
4со&
v,,i
г-2 dz - е~~
5,
2+
e~z! dz
T + ЕУот/Сц
Т 2Ьж/с(r)р0
(II .4.9) (II.4.10)
Теперь анализ пространственного изменения v, проводимый в соответствии с
(II.3.2), не представляет труда. Прежде всего, для достаточно больших х,
так чтобы в области т > V2Ьж/соРо выполнялось условие х > c0xlev0,
скорость просто определяется формулой
v = r0th (т/т'). (11.4.11)
60 гл. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Величина т', как и выше, определяет длительность фронта ударной волны и
после приведения к безразмерному виду равна 1/е Re. Следовательно, и для
этой задачи ширина фронта ударной волны не обнаруживает зависимости от х
и остается стационарной.
Зная стационарную длительность фронта ударной волны т =Тотац) можно
указать то значение х', начиная с которого т = тотац, а именно
х' = bc0/s2p0vl. (II.4.12)
Тем самым определен интервал установления стационарной ширины фронта
ударной волны [0, х'], существенно отличающийся от интервала установления
в предыдущей задаче [0, xj, где х1 = хс%1гуй.
Остается лишь определить закон, описывающий изменение Тф на интервале [0,
х'\. Этот закон легко усмотреть исходя из следующих простых рассуждений.
Для х < xc\ievt) и для достаточно больших | т | одним из интегралов в
выражении (II.4.9) можно пренебречь как интегралом с
равными пределами и получить v = | г;0 |. Считая
такое пренебрежение возможным, когда нижние пределы у интегралов в
выражении (II.4.9) по абсолютной величине больше единицы, можно выразить
т как функцию х:
X = V 2Ьж/СоРо + ev0x/cl- (II.4.13)
Однако даже в предельной точке (II.4.12) второе слагаемое в формуле
(П.4.13).в Y2 раз меньше первого, так что закон установлениа-
'Стационарной ширины фронта ударной волны можно просто определить как
//ф " с0Тф = Cq V26x/cqP0, (II.4.14)
т. е. нарастание ширины фронта ударной волны пропорционально квадратному
корню из пройденного волной расстояния от входа системы, пока не
достигнет стационарной величины.
В заключение рассмотрим распространение произвольного одиночного
импульса, затухающего прит = + °о, с различных точек зрения, допустимых
при решении уравнения Бюргерса.
§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
61
Пусть на некотором интервале [0, (Л задан импульс треугольного профиля,
как это показано на рис. II.8, а 162]:
Г2/>0[Г1(1-т/Р), 0<т<(3,
v-{ О,
т<1> Т>Р.
Н
= (1 - 't/Р) dt.
Импульс выбран так, чтобы при сохранении площади треугольника Р0
возмущение скорости оставалось малой величиной.
Точное аналитическое выражение v, получаемое в соответствии с (II.3.2)
после вычисления функции U и логарифмической производной, однако весьма
громоздко, поэтому целесообразно, не выписывая последнего, ограничиться
графическим представлением зависимости v от т для различных расстояний от
входа системы, полученных на основе точного решения.
Прежде всего, для достаточно малых расстояний х ^ х' - &с0р2/4р0е2Р2
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed