Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
двукратное формирование ударной волны, чего никогда не может быть при
распространении плоских и расходящихся сферических и цилиндрических волн.
Следуя схеме изложения, принятой при описании распространения плоских
волн в диссипативной среде, запишем уравнение движения, которое теперь
имеет вид:
dv . dv dp , , / d2v и dv n \ /TTT , ,.
и уравнение непрерывности:
^- + {r(pv)+^-pv=0, (III.1.2)
66 гл. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
где п = 2 для сферических и п == 1 для цилиндрических волн. В силу
пространственной симметрии в уравнения
(III.1.1) н (III. 1.2) вошла только радиальная компонента скорости vr,
которая нами просто обозначена через v. Диссипативный коэффициент Ъ
совпадает с соответствующим коэффициентом, введенным в предыдущей главе.
Уравнения (III.1.1) и (III.1.2) следует дополнить приближенным
адиабатическим уравнением состояния вида
P' = cl9' +l^i^Lp'2. (Ш.1.3)
Следуя схеме, изложенной во второй главе, нетрудно получить в
сопровождающей системе координат гит (где т = t - (г - г0)/с0 для
расходящихся волн и т = t + + (г - г0)/с0 для сходящихся волн) следующее
приближенное уравнение:
dv . и Е dv b d2v ,ттт .
_ + (Ш.1.4)
При п = 2 это уравнение, полученное с точностью до малых членов второго
порядка малости, описывает распространение шЬепически-симметличных волн,
при п = 1 - цилиндрически-симметричных волн. При выводе уравнения (Ш.1.4)
наряду с разложением по малому параметру (числу Маха) учитывалось, что
аналогичный порядок малости имеет величина ilkr, где к - волновое число,
т. е. уравнение (Ш.1.4) справедливо всюду в области кг 1.
Производя замену в уравнении (Ш.1.4) U = v (r/r0) и z = In (r/r0) при п =
2 и замену U == v\/ r/r0 и z - = 2 (/"rru при п = 1, получим следующие
уравнения [54, 55, 62):
dlf ёгп тт dU bra " d2U /ттт . г.
- " -( >
dU E тт dU bz d2U ,ттт . д.
- "Т и~=Н^,^г- (шл'6)
Любопытно отметить, что в приведенных выше обозначениях расходящиеся
сферические волны адекватны пло-
§ 2. СРЕДА БЕЗ ДИССИПАЦИИ
67
ским волнам в среде с экспоненциально нарастающей вязкостью, сходящиеся -
с экспоненциально убывающей вязкостью. Для цилиндрических волн вязкость
изменяется по линейному закону. Приведенная аналогия не является вполне
точной, поскольку в процессе вывода уравнений
(111.1.5) и (III.1.6) произведены нелинейные преобразования координат z =
In (r/r0) и z = 2j/Vr0, что существенным образом сказывается в
определении действительных масштабов пространственных искажений волнового
профиля.
Переходя к анализу процесса распространения пространственно-симметричных
волн на основе уравнений
(111.1.5) и (III.1.6), подчеркнем с самого начала, что в силу отсутствия
точных решений этот анализ будет носить преимущественно качественный
характер. При этом мы будем постоянно опираться на результаты
аналогичного анализа, выполненного на основе точных решений в теории
плоских волн.
§ 2. Среда без диссипации
Рассмотрим распространение расходящейся или сходящейся бегущей
сферической (или цилиндрической) волны конечной амплитуды, гармонической
в точке г = г0:
На первом этапе распространения звуковой волны конечной амплитуды
диссипативные процессы не играют существенной роли, если интенсивность
волны достаточно велика, а вязкость и теплопроводность малы. То есть при
больших числах Рейнольдса можно пренебречь правыми частями уравнений
(III.1.5) и (III. 1.6), а решения полученных укороченных уравнений с
граничным условием
(III.2.1) записать в виде
v =vQ sm сот.
(III.2.1)
сот = arcsm
|пШ~-!мг;ого1п
Го I Voro J '
г vr
(III.2.2)
ЬЪ A
-му0г о 1 -
Сп
68 ГЛ. III. СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Графический анализ полученных решений ничем не отличается от аналогичного
анализа в теории плоских волн. Поэтому мы остановимся только на
отличительных особенностях в "темпах" накопления нелинейных искажений в
расходящихся и сходящихся сферических и цилиндрических волнах по
сравнению с плоскими волнами конечной амплитуды.
Как известно, решения принимают разрывный характер при обращении
безразмерных угловых коэффициентов
в единицу. Сравнивая значения коэффициентов Zj и Z2 с соответствующим
значением коэффициента для плоских волн, видим, что нелинейные эффекты в
расходящихся сферических и цилиндрических волнах выражены существенно
слабее. Нелинейные искажения в сферической волне накапливаются как
натуральный логарифм отношения расстояния, пройденного волной от
излучателя г к радиусу излучателя г0. Для цилиндртйеской волны накопление
нелинейных эффектов с расстоянием пропорционально | 1 - У"г/г0|. Несмотря
на то, что одновременно с накоплением нелинейных эффектов происходит
уменьшение амплитуды волн из-за сферической или цилиндрической
расходимости, ударная или разрывная волна все же теоретически обязана
сформироваться, поскольку мы пренебрегли диссипацией энергии.
Итак, с точки зрения накапливающихся нелинейных эффектов сферические и
цилиндрические расходящиеся волны конечной амплитуды являются
