Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 15

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 81 >> Следующая

исходя из значения углового коэффициента прямой в решении (11,3.13),
равного единице, т. е. а = 1, что в длинах волн дает
~ ем ' (Н-3-14)
При значениях а )> 1 по-Рис. II.5. Вид подыптеграль- дынтегральное
выражение
ного выражения формулы как функция %' имеет вид,
(II.3.5) в окрестности ксщрди- представленный на рис. II.5.
наты разрыва з '>''1. m
1еперь главное значение интеграла не может быть взято по малому участку в
окрестности экстремальной точки То, так как точка т0 не является
экстремальной. Однако уже при значениях сг таких, что ст - 1 - l/e Re,
значение подынтегрального выражения в точке Тц мало по сравнению со
значениями подынтегрального выражения в точках и т2. Следовательно,
главное значение интеграла может быть вычислено как сумма его значений по
малым участкам вблизи точек хг и т.2, т. е.
§ 3. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ
55
е Ylsi:i сотх + е 12 sin тт2 в-г'+ <ГУ*
V = 1'п
Найденное выражение уже может быть непосредственно использовано для
анализа формы волны после образования "разрывов". Однако наиболее просто
этот анализ может быть, произведен, если положить 0 л/2. В этом
случае, жак мы уже показывали на примере аналогичной задачи для идеальной
среды, форма волны становится почти пилообразной и допускает
аналитическое представление
оФх при 0 < сот < л, (II.3.17) оФ2 при - л <С сот <с 0. (II.3.18)
сот = л - Фх сот = л - Ф2
Разделив в выражении (II.3.16) числитель и знаменатель на e~Yi, после
оценки при помощи формул (II.3.17) и (II.3.18) соотношения
Vi~Y2
е Re (cos сотх - cos сот2) -f-
~r
(т'г - T)2
(Т2"Т)3 з
соРо
нетрудно получить
| Yi - Уа
и
V0
(
2Ьх
(II.3.19)
(II.3.20)
сот - л th | j J при - л </ сот л, (II.3.21)
где б имеет смысл безразмерной ширины фронта ударной волны и определяется
следующим соотношением (ср. с формулой (II.2.10)):
1 + 3 (II.3.22)
Я8 Re
Как следует из формулы (II.3.22), ширина фронта, являющаяся обратно
пропорциональной числу Рейнольдса, может быть весьма узкой, стремясь в
пределе по поряд-
56
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
ку величины к длине свободного пробега молекул. Вместе с тем она не
остается постоянной, а растет пропорционально расстоянию от входа
системы. Фронт размывается и при некоторых значениях х может занимать
фазовый интервал порядка л. Естественно, что при такой ширине фронта само
понятие фронта становится бессмысленным и это означает, что волна вновь
становится почти синусоидальной. Пренебрегая в формуле (II.3.22) единицей

о
X О Хр Xq
Рис. II.6. Три характерных этапа процесса распространения волны конечной
амплитуды в диссипативной среде.
по сравнению с величиной безразмерного параметра о, что вполне законно
при больших числах Рейнольдса, мы получим оценку, с точностью до
коэффициента совпадающую с формулой (II.3.7). Решение (II.3.21) при этом
также переходит в решение (II.3.6).
Проведенный анализ позволяет строго выделить три этапа в распространении
волны конечной амплитуды в диссипативной среде (рис. II.6). Первый этап -
от входа системы до координаты ?р, удовлетворяющей соотношению
(II.3.14),- это этап, на котором накапливаются нелинейные искажения, но
фронты еще недостаточно круты, а потому диссипативные эффекты
несущественны. Второй этап - от координаты хр до координаты х0,
удовлетворяющей соотношению (II.3.7),- это этап, на котором одновременно
проявляются и нелинейные, и диссипативные эффекты. Здесь происходят
необратимые потери энергии, все время поддерживаемые за счет нелинейных
искажений волны. К концу второго этапа волна приходит уже как волна
бесконечно малой амплитуды, так что на третьем этапе при х х0 справедливо
описание
§ 4. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
57
процесса по линейным законам акустики. Полезно отметить, что решение
(II.3.21) является точным, в чем можно убедиться непосредственной
подстановкой (II.3.21) в уравнение (II. 1.10).
§ 4. Решения уравнения Бюргерса для непериодических возмущений
Пусть на входе системы задано возмущение скорости в виде
при х = 0 v = v0 th (т/т0), (II.4.1)
где т изменяется в пределах от - оо до -(-оо, а значение т0 принимается
таким, чтобы область фронта была достаточно пологой, т. е. т0 (ev0
с0р0/6)-1 = т'. Тогда функция U, для которой имеет место уравнение
теплопроводности (II.3.3), может быть записана в виде
У 4яхЬ/2сцРо
" W.T° /г - Л2 3
X ^ expj^f J thzdz--------------------^T~}dy- (II.4.2)
-оо о
При (т0/т') 1, т. е. при больших акустических чис-
лах Рейнольдса, интеграл (II.4.2), как и в предыдущем параграфе,
вычисляется методом перевала, так что из соотношения, определяющего
седловую точку у0 и значения v (II.3.2) в ней, можно найти решение в виде
- = Arcth Ф - Ф. (11.4.3)
Ti> CqTo
Графический анализ полученного решения, приведенный на рис. II.7,
наглядно демонстрирует искажение профиля начального возмущения по мере
распространения волны. При этом степень искажения определяется значением
углового коэффициента Z = ev0z/c\x0, растущего прямо пропорционально
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed