Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 14

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 81 >> Следующая

1.10) с граничным условием
(II.2.12)
при х -= 0 v == v0 sin ют.
(II.3.1)
*) См. также [134].
§ 3. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ
51
Посредством замены
У = -4-QnU) (И.3.2)
есоро дх у '
уравнение (II.1.10) и граничное условие (II.3.1) приводятся
соответственно к следующему виду:
8U Ъ дЧ7 ,тт г, п.
~ ~ 2rgpo Эт* • ( • ' )
При х = 0
U = exp и (0, t) dtj = exp (-sRecosort). (II.3.4)
Периодическое по сот решение уравнения (II.3.3) с граничным
условием (II.3.4) может быть представлено в двух
формах: в виде интеграла и в виде ряда Фурье, т.
е.
U
ос
1 С
- \ ехр (- s Re cos сот')ехр
У 4лхЪ/2фо
(%' - Т)2
dx' =
АхЪ12с^о0
= 2 М- 1)" In (е ^е) ехР (- co2w26,r/2foPo) cos "сот,
(II.3.5)
71=0
Ро = 1. Рп = 2 для 0.
Второе представление решения в точности совпадает с решением Мендоусса
[50], а при e~'JX 1 переходит в решение Фея [60]. Однако представление в
виде ряда имеет практическую ценность лишь при х 1/а. Действительно, если
принять х х0, где х0 = 2/а, то можно ограничиться двумя первыми членами
ряда (II.3.5) и получить для скорости v (х, т) приближенное выражение
'smart. (II.3.6)
8 Re
Экспоненциально-затухающая волна (II.3.6) удовлетворительно описывает
процесс лишь при небольших числах Рейнольдса. Исключая из рассмотрения
область х < х0, мы, по существу, исключаем из рассмотрения процесс
формирования ударной волны. При малых числах Рейнольдса граница х = х0,
хоть и находится вблизи источника гармонических пульсаций (II.3.1), но
соотношение
52
гл. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
между нелинейными и диссипативными членами уравнения Бюргерса таково, что
проявление нелинейных эффектов в области 0 < х < х0 несущественно. При
больших числах Рейнольдса граница х = х0 отодвигается далеко вправо от
входа системы. Действительно, расстояние х0, измеренное числом длин волн,
укладывающихся в интервале [О, х0], равно
кх° = 4 Ж '
(II.3.7)
где к = (о/с0 - волновое число.
Из соотношений (II.3.6) и (II.3.7) следует весьма существенный вывод,
характерный для распространения
волн конечной амплитуды с образованием разрывов. На расстояниях (II.3.7)
амплитуда затухающей волны (II.3.6) не зависит от амплитуды колебаний v0
источника звука, поскольку число Рейнольдса само пропорционально v0 (см.
(II.1.11)). Иначе говоря, нелинейные искажения в среде ограничивают
сверху максимальные интенсивности, которые могут быть переданы на
заданное расстояние. Когда расстояние образования разрыва меньше, чем
расстояние между источником и приемником звука, поглощение пилообразной
волны столь велико, что дальнейшее повышение излучаемой звуковой энергии
не повышает звуковую энергию в точке приема. К этому следует добавить,
что и само расстояние кх0 (II.3.7) не зависит от амплитуды на входе
системы. При фиксированной частоте это расстояние, как следует из формулы
(II.3.7), определяется исключительно значением скорости звука с0,
плотности р0 и диссипативным коэффициентом Ь.
как функция х' на таких рас стояниях от источника, когда разрыв в
волновом профиле еще не наступил.
§ 3. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ
53
Обратимся теперь к интегральной форме решения
(II.3.5). Предыдущее исследование, во-первых, практически исключало
область 0 < ж < ж0 и, во-вторых, удовлетворительно описывало процесс при
значениях числа Рейнольдса Re<^l. Положим Re 1 и ограничимся пока что
значениями ж < ж0/2. Интеграл (П.3.5) может быть взят методом перевала.
Действительно, подынтегральное выражение как функция т' имеет вид,
представленный на рис. II.4. Главной частью интеграла является интеграл
по малому участку вблизи экстремальной точки Tq, в которой должно
выполняться соотношение
3^т= О, (II.3.8)
где
(%' - т)2 с?ро
Y = е Re cos сот' -|-----^--------. (II.3.9)
Из условия (II.3.8) следует соотношение
' -2 Тг, - Г
v0 sin сот0 = с0 --- . (II.3.10)
Подставляя разложение Y в ряд Тейлора в точке т0 под знак интеграла
(II.3.5), легко найдем следующее значение U:
и = -у -е~- г- . (II.3.11)
У 1 - a cos сот^
Здесь <т = есохг0/со, а Г0 определяется соотношением
(11.3.9), в котором т' следует заменить значением т0. Согласно формуле
(II.3.2) искомая функция v (ж, т) по данному значению и (II.3.11) может
быть представлена в виде
Выражая т как функцию г? и ж из соотношений (II.3.12)
(11.3.10), найдем
сот = arcsin Ф - стФ, (II.3.13)
где Ф = sin сот^ = vlv0.
54
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Формула (II.3.13) представляет искомое решение поставленной задачи.
Анализ соотношения (II.3.13) уже проводился нами графически в первой
главе, где подобное же соотношение было получено для распространения
гармонического сигнала в недиссипативной идеальной среде. Совпадение
результатов на данном этапе исследования свидетельствует о том, что в
области х < ж0/2 существует некий интервал, где еще не сказываются
диссипативные эффекты, тогда как нелинейные искажения волнового профиля
проявляются в полной мере. Этот интервал как расстояние от входа системы
до точки образования разрывов в профиле звуковой волны можно определить,
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed