Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
(II.1.9). После освобождения от членов первого порядка малости и замены
во всех членах второго порядка величины р'/р0 на v/c0 получим одно
нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для переменной v:
Поскольку буква т обозначает характерное время релаксации, всюду в этой
главе бегущая координата будет обозначаться через у: у = t - (х/с0).
Полезно также иметь в виду уравнение в дифференциальной форме, которое
v
дх
dv е
дх V
О
-ОО
следует из (IV.3.1) 156, 67]:
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 93
К сожалению, уравнения] (IV.3.1) и (IV.3.2) пока не удалось решить
аналитически. Поэтому анализ процессов искажения формы волны будет носить
преимущественно асимптотический и качественный характер.
Прежде всего заметим, что в релаксирующей среде может существовать
стационарная волна типа симметричного скачка. Пренебрегая в (IV.3.2)
производными по х, придем к обыкновенному дифференциальному уравнению
(I
Ну
dv
dy
y2
2т"
тса
dv
2s dy
= 0.
(IV.3.3)
Интегрируя его и определяя константу из условий: dv/dy -> 0; v -> v0 при
у -се, получим
dv
dy
1
2 2 K~v
2т mco/2e -f- v Решение уравнения (IV.3.4) имеет вид
У + у о
In
Г>-1
(1 + vivo)
D+1 ¦
(1 - v/vo)
где у0 - постоянная интегрирования, а
D = т ¦
2еМ
(IV.3.4)
(IV.3.5)
(IV.3.6)
- параметр, учитывающий относительный вклад дисперсии и нелинейности.
Форма функции v (у) имеет качественно различный вид для случаев D ]> 1 и
D < 1. При D 1, что соответствует слабым проявлениям нелинейных эффектов
(при этом условие (IV.2.11), вообще говоря, нарушается), выражение
(IV.3.5) сводится к выражению v = y0th (y/2Dr), характерному для
структуры скачка в обычной вязкой среде (рис. IV.3, а). При уменьшении/)
(при/) ]> 1) форма скачка уплотнения становится несимметричной
относительно среднего уровня (рис. IV.3, б), а при D < 1 функция v (у)
вообще становится неоднозначной (рис. IV. ^3, в). Ввиду^ физической
абсурдности такого положения нужно ожидать, что решение приобретает в
этом случае разрывный характер.
94 ГЛ. IY. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Разрывные решения дифференциальных уравнений можно рассматривать как
пределы непрерывных решений более точных уравнений высшего порядка при
стремлении к нулю значений "паразитных" параметров, являющихся
коэффициентами при высших производных. В случае релаксирующей среды в
качестве "паразитных"
Сжатие
а)
*1Го
Х-СЛ
Рис. IV.3. Одиночный стационарный скачок в релаксирующей среде при
различных значениях числа D.
процессов естественно учесть влияние сдвиговой вязкости и
теплопроводности, как это делалось при выводе уравнения Бюргерса. Тогда
вместо (IV.3.2) получим
§ 3. КОНЕЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 95
Пренебрегая производными dvldx, придем к уравнению, описывающему
стационарную волну
d2v
~diP
+
, /ПСо . о
У + ^Г + -
dv
dy
2т
= О, (IV.3.8)
где б = Ы2ес0р0. Легко видеть, что при стремлении б к нулю уравнение
(IV.3.8) переходит в (IV.3.4). Наиболее просто проанализировать поведение
решения уравнения (IV.3.8) на фазовой плоскости (v; dv/dy) с помощью
метода изоклин [56!.
Обозначая через w=dv/dy, можно получить уравнение траекторий на фазовой
плоскости:
dw
dv
.1 6 w
[v +
тс о ~2~
-г)
W
2т
(IV.3.9)
Рис. IV.4. Анализ структуры скачка уплотнения на фазовом плоскости.
На рис. IV.4 представлена интегральная кривая, описывающая структуру
скачка уплотнения в случае малого
значения б,- жирная кривая, а тонкой линией изображена изоклина
горизонтальных касательных. При больших значениях производной dv/dy
уравнение (IV.3.8) переходит в уравнение
"?+(
v ¦
тс о
2s
dv
dy
0.
(IV.3.10)
Первый интеграл
Г / . тс0 \ 2
L (,'+тг)
этого уравнения - Аг j/26, где А
имеет вид dv/dy = = -v0 + {тс0/ 2е) -
константа интегрирования. Из этого соотношения видно, что интегральная
кривая, описывающая разрывное решение, при 6=0 должна возвращаться из
бесконечности в точку vx, расположенную симметрично v0 относительно
96 гл. IV. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
v = -mcj2е. Это значение будет значением скорости сразу за точкой
разрыва. Оно равно г\ = v0 - тс0/&.
Полученные уравнения (IV.3.1), (IV.3.2) позволяют также рассмотреть
задачу о распространении периодических возмущений.
Пусть на входе в систему при х = 0 волна задана в виде
v - v0 sin сог/. (IV.3.11)
При рассмотрении процесса искажения синусоидального возмущения удобно в
исходных уравнениях перейти к безразмерным переменным
0 = со у, а = ¦- ш0х, V = . (IV.3.12)
со Vo
Уравнение (IV.3.1), более удобное для анализа, в этих переменных
приводится к виду
- ОО
Рассмотрим сначала периодическое возмущение скорости с такой частотой со,
чтобы выполнялось условие сот<^ 1.
В этом случае уравнение (IV.3.13) может быть упрощено. В основу упрощения
следует положить тот факт, 0-0'
что экспонента е "т , стоящая под знаком интеграла в правой части
(IV.3.13), при малых сот изменяется гораздо быстрее, чем dVIdQ'.
Поэтому dV/dQ' можно разложить
