Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
жирной линией - профиль волны на расстоянии х от излучателя, пунктиром -
линия разрыва.
Обозначив через (ют), г2 (ют) и г3,4 (ют) каждый из линейных отрезков, на
которые разбивается в соответствии с рис. V.2, б конфигурация волн,
найдем скорость движения фронта по формуле (V.1.10), определяя ютр из
условия равенства площадей:
+ [Мя) - yi((r)Tp) + кз(ютр)|] (я - ютр). (V.1.11)
Линейные функции v (ют) в соответствии с принятыми на рис. Y.2, б
обозначениями могут быть представлены
Щ (ЮТр) - v3 (ютр) I • (ЮТр +
в виде
~2~ "I-Т а v°x (* + mi)
со
108 ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
V, =
_________Vo (1 + mi)__________
л е
~Y - ~ шго-с (1 + >щ)
(я - сот),
Гз
Vo (1 + т-2.)
Л е ~п~ - -~ согрж (1 + Иг)
ло
Уо (1 + и")
Л 8
-гг- -Т -7- сог-ц.г (1 -|- тг)
& п-
с0
(я - сот),
(сот - 2я), (V.1.12)
где пг1 = т, sin (яй/2со) и т2 = т. sin (Зл?2/2со). Подставляя
соотношения (V.1.12) в уравнение (V. 1.11), имеем с точностью до малых
членов порядка m\i2-1 m2 - >щ
~г
я
ТГ
(соТр - 2я)2 - 4 (соТр - я) -
• Ш'ож
сог;0.т\ = 0.
- (тг ~ тт)
В том же приближении формула (V.1.10) дает
(V.1.13)
Гф
V о
ТТ I 8
__ 4- - ШйХ
2 л о
1 +-7
я mi + m 2
__ + &v0x
2 са о
(соТр - я).
(V.1.14)
После подстановки решения уравнения (V.1.13) в (V.1.14) с точностью до
малых членов порядка получим
Гф
ГО ("12 - mi)
1
Я2
COl'or'j"
. (V.1.15)
Проведенные- вычисления справедливы для любого н-го периода высокой
частоты, т. е. при любых mn - Раскрывая разность пгп - тп-\ и заменяя при
(Q/co) <^1
§ 1. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 109
значение sin(jtQ/2co) значением аргумента, найдем Va
я2
1'Ф:
Со
я й
-г т -v0
4 (о
1
cos Qt.
(Y.1.16)
Значение амплитуды скорости волны с частотой модуляции, определяемой
формулой (V.1.1(5), совпадает в точке х - L со значением амплитуды
скорости волны модуляции, вычисляемой на основе соотношения (V.1.8)
Рис. V.3. Динамика роста волны частоты модуляции.
(с точностью до постоянного коэффициента, что обусловлено заменой
синусоиды высокой частоты волной треугольного профиля). При дальнейшем
распространении сигнала {х L) амплитуда волны модуляции, как видно из
формулы (YM.16), растет, превышая на бесконечности вдвое значение
амплитуды в точке разрыва, в которой (всог0а:/с'о) = я/2. На рис. V.3
приведена зависимость амплитуды волпы с частотой модуляции от расстояния,
пройденного сигналом от излучателя.
Таким образом, в нелинейной гидродинамической среде осуществляется
детектирование сигнала. При больших числах Рейнольдса низкочастотная
гармоническая составляющая, нарастая линейно до точки формирования
разрыва, обнаруживает также рост и в области существования периодических
ударных волн. Сравнение амплитуды
110
ГЛ. V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
волны модуляции на больших удалениях от излучателя (х^> L) с амплитудой
одной из боковых частот у источника излучения приводит к количественной
оценке vn/va-n = = я?2/2со, т. е. при больших Re эффект детектирования
выражен гораздо сильнее.
Значительный интерес представляет также и другая группа задач,
относящаяся к таким возмущениям на границе нелинейной среды, которые
могут быть представлены в виде совокупности бесконечного числа
монохроматических волн (сплошной спектр Фурье). Заранее очевидно, что в
результате нелинейного взаимодействия между гармониками заданный спектр
может расшириться в
Рис. V.4. Искажение гауссова импульса в нелинейной среде.
обе стороны: как в сторону более низких, так и в сторону более высоких
частот. Этот процесс имеет довольно сложный характер, и применять
спектральный подход с самого начала, по-видимому, нецелесообразно.
Вместе с тем, как нетрудно заметить, сплошной спектр может отвечать
некоторому регулярному возмущению Ф (сот), заданному на границе среды.
Поэтому удобно производить анализ нелинейных искажений следующим образом:
вначале отыскать каким-либо способом решение Ф (ют, о), описывающее
деформацию начального воз-
§ I. КОЛЛИНЕАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 1Ц
мущения, а затем разложить полученное решение в спектр. Как было показано
в гл. I, II, искажение импульса во всей области значений о (0 < о < оо)
можно описать либо графическим способом (при Re !^s> 1), либо с помощью
уравнения Бюргерса (при произвольных Re).
В качестве примера рассмотрим здесь, как изменяется сплошной спектр,
отвечающий импульсу гауссовой формы на границе среды (71]. Искажение
формы импульса проиллюстрировано на рис. V.4. Кривые с параметром о = -
1, 2, 3 на этом рисунке получены с помощью кривой при а - 0 графическим
методом, описанным в гл. I (см. рис. 1.8); образовавшийся разрыв
проводился в соответствии с правилом "равенства площадей". Результаты
гармонического анализа кривых рис. V.4 представлены на рис. V.5.
Рис. V.5. Трансформация спектра гауссова импульса.
Как нетрудно видеть, для а < ар преимущественно происходит перекачка
энергии из низкочастотной части спектра в высокочастотную. Аналогичные
построения проведены на рис. V.6 для начального возмущения треугольного
