Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
V ri е2 I 1 " г, ,i м т2 + Р2х( 1-х)
!/Х W-------
1 . n ^uf'v e2 r ^ } j /i vi m2 + p2x(\-x)
- - [- - Y ~ Jdx x(l-x)ln K v '
Amv(P) = - l-2= 0, (4.2)
6 3 p4 2tt2 6 ' о 2ттц2
-_Lfa] + 0(e4). (4.1)
О
Конечные части контрчленов Z3 и Za фиксируются требованием, чтобы
пропагатор При р2 -" 0 выглядел так же, как исходный пропагатор:
5,v
г 'р 2=0'
так что F3 =Fa =-у - In . (4.3)
1ТГЦ
Аналогично в порядке 0(е 2) имеем
1, . г, е1 , 1+Y г j /1 ,, р2х(\ - х) + т2х 1 г* Vi
5 ~1(Р) = ip [1 +-, ( - + fdx( 1 - ж) In ?---L +-^-^2)] +
8тт 2 о 4тгц 2
+ Ww^i"+2y + 2;j,
отг2 0 4тгц^
(4.4)
и может показаться, что подходящая процедура вычитания будет заключаться
в продолжении в пространство Минковского, т.е. в замене р -> S и р :2 ->
-р 2, и требовании
S~HP) = i (me - р) при р2 = щ|, (4.5)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 281
которое фиксирует конечные части
F2 = -у + 2 - Ь ш2/4тгр2, (4,6)
Fm= У ~ 1 + 4" 1п(и2/4ттц2). (4.7)
А
Однако такой выбор вычитательной процедуры неоднозначен. Дело в том, что
наш рецепт предполагает, что разложение 2(р) вблизи р = т хорошо
определено. Но простые рассуждения показывают, что это не так. Из
требования (4.5) следует, что
2(р) = 0 при $=т, (4.8)
так что проведем разложение исходного выражения для 2(р) вблизи
р = т. Это легче в^его сделать, разложив фермионный пропагатор в
(2.10) по степеням р + т:
1 -1 [ 1 - -i-( P + т) + . . . ]. (4.9)
~7$Г
$ - I + т I I
Мы сразу же видим, что возникшие в этом разложении члены плохо
определены. Например, член, линейный по р + т, приводит к интегралу
(еи2-"12Г-- - , (4Л0)
Iе" > J (2тт)2со /4 ' ' '
который расходится не только на верхнем пределе интегрирования при со =
2, но и на нижнем пределе. Подобного типа расходимость называется
инфракрасной расходимостью, и ее надо рассматривать отдельно от
ультрафиолетовых расходимостей, с которыми мы имели дело ранее.
Один из способов решить эту проблему заключается в том, чтобы приписать
фотону фиктивную массу Л и удерживать ее в процессе вычислений. Тогда
инфракрасной расходимости нет и все снова хорошо. Подобная процедура в
КЭД дает еще и то преимущество, что она не влияет на калибровочную
инвариантность вычислений. Отметим, что инфракрасные расходимости
возникают на "массовой поверхности" внешних частиц: величина (4.10) равна
<92/др на евклидовой массовой по-
А
верхности р + т = 0.
То обстоятельство, что инфракрасные расходимости в КЭД могут быть
устранены добавлением массы фотону и возникают на массовой поверхности
внешних частиц, указывает на то, что эти расходимости
282
Глава 8
связаны с наличием дальнодействующих сил, делающих неоднозначным
определение асимптотических состояний.
Другой способ устранения инфракрасных расходимостей заключается в
использовании размерной регуляризации. В этом случае проводится
интегрирование по параметрам в 2со-мерном пространстве и затем разложение
вблизи со = 2. Инфракрасные (так же как и ультрафиолетовые) расходимости
будут возникать как полюса в плоскости размерности. Подробнее об этом
ниже.
Остается зафиксировать вершинный контрчлен. Прежде чем сделать это, нам
следует переписать вычисленное выше Г (р, q) в более подходящей форме. Мы
собираемся использовать рецепт, при котором фермионы находятся на своих
"массовых поверхностях". Это заставляет нас считать, что Г (р, q)
помещается между спинорами, для которых справедливы (евклидовы) уравнения
движения. Поэтому мы перепишем Гр в виде
гр(р, 9)='Гр(р, ?) + (р + т)Лр + Bp(q+m), (4.11)
где Г и есть то, что мы ищем, так как члены с Л и В в силу уравнении
движения не будут давать вклада. В процессе сведения к такому виду
оказываются полезными тождества Гордона * - - ?
V7 2г'стрт,<?т = mYp + rp(<? + (tm))> (4-12)
- _ - й
Рур =Рр + 2ia р-тР-г = ~mYp + (р + m) Г р> (4.13)
где ам>1 = - [уц, yj. (4.14)
Они легко выводятся, если представить произведение двух у-матриц в виде
полусуммы коммутатора и антикоммутатора. Вооруженные таким образом, мы
подготовлены к небольшой порции неприятной "дираколо*-гии".
Используя тождества (справедливые только для Г )
А _ _ _
?у р = ту - кУ - 4t'mff kT = 9T-pT, (4.15)
А
% = -тур + 4itrJpTgT, (4.16)
А
УрР = -тУр - 4гортРТ (4.17)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
283
и выражение (2.42), можно свести числитель подынтегрального выра женя в
Г(2) к виду
+ у)1 - 2(1-х-у)] - 2*2(1 - х)(1 - у)ур +
+8*'отарт5т[ х - у(у + х)] - 8imjprpr[y - х(х + у)]. (4.18)
Этот результат позволяет разбить вклад от Г(2) на две части, одна из
которых пропорциональна ур, а другая - арт . Займемся пока что частью,
содержащей у Она имеет вид
Гр(Р> Я) = Г (1)(рг q) - *ffU6yD7f dx f dyx r K H 16tt's
о о
(4.19)
(x + y)2_2(l -X -y) -2*2(1 -*)(1 -y)
x -------------------------------------------^---- .
m (x + у) + p2x( 1 - x) + q2y( 1 - y) - 2p • qxy
Когда мы вычисляем это выражение на массовой поверхности
p2 = ?2 = _m2. k2 = о, (4.20)
последний интеграл сводится к
