Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
этом случае в дополнение к калибровочному лагранжиану нужно написать
&f = Фу • 3>Р + imTY, (1.33)
где vp(x) - дираковское спинорное поле массы щ а - соответствующая
ковариантная производная" Мы опустили все индексы" Дополнительные
фейнмановские правила таковы: фермионная линия
: fra Ъ
" ь ^-^12------------- , (1.34)
р + т
где р = р^у и а, Ъ - индексы фермионного представления; вершина
взаимодействия фермиона с калибровочным полем
-*gylJ(T'4)g , (1.35)
^ ? о А
CL с Ь
где (7А)1 - матричные элементы генераторов группы в соответст-
вующем фермионном представлении" До тех пор пока мы имеем дело с
дираковскими фермионами, нет существенной разницы между рассмотрением их
в, пространстве Минковского или Евклида, если не считать замены ip на цД
" Ниже мы сохраним более уместную систему обозначений, отвечающую
пространству Минковского, хотя и пишем фейнмановские правила в евклидовом
пространстве.
Задачи
А. Выведите выражение для пропагатора калибровочного поля в калибровке =
0, ицпц = 1, пц фиксировано"
Б. Выведите фейнмановские правила для комплексного скалярного поля,
взаимодействующего с янг-миллсовским полем" Для определенности
рассмотрите локальную инвариантность относительно группы 5 U(N) и
предположите, что поле преобразуется по /V-мерному представлению"
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
261
**В. Рассмотрите для 5Р(Л')-калибровочных теорий калибровочное условие +
а{АЛц} (записанное здесь в матричной форме), где а - произвольный
коэффициент. Выведите фейнмановские правила. Проанализируйте влияние
калибровочных условий на вершины. Заметим, что это странное калибровочное
условие возможно только в том случае, когда оператор (А Лц! имеет те же
групповые свойства, что и
Переходим к исследованию в рамках теории возмущений простейшей из
калибровочных теорий, которая описывает взаимодействие фотона с
заряженными частицами. Определяющий эту теорию классический лангранжиан
имеет вид
Здесь У - четырехкомпонентное дираковское поле, а е - электрический
заряд. В природе существует много заряженных полей: лептоны е~, ц",
т "с зарядом - е, "верхние" кварки и, с (и, возможно, t) с зарядом 2/Зе,
"нижние" кварки d, s, b с зарядом - 1,/Зе, промежуточный векторный
переносчик слабых взаимодействий Vt* и, возможно, многие другие поля, еще
не открытые. Мы ограничимся полем со спином 1/2, Так как мы собираемся
проводить вычисления в пространстве 2со измерений, заменим размерную
константу связи е безразмерной:
где ц - традиционный массовый параметр в схеме размерной регуляризации.
(Напомним, что в 2 со измерениях поля со спином 1/2 имеют размерность -
со + 1 /2, а поля со спином 1 имеют размерность - со+ 1.) Таким образом,
фейнмановские правила в евклидовом пространстве (в фейнмановской
калибровке а = 1) имеют вид
д • А,
§ 2. КЭД , однопетлевая структура
(2.1)
е -> ец2
(2,2)
5
262
Глава 8
-ie/iz'wyp,
где мы опустили все спинорные индексы и, кроме того, каждой фер-мионной
петле приписывается знак минус.
Руководствуясь этими правилами, приходим к однопетлевым диаграммам
~о~ 4^ ,2'4)
которые дают поправки к фундаментальным параметрам теории и полям, и
диаграммам
(2.5)
которые на первый взгляд порождают новые взаимодействия. Разберемся
сначала с диаграммами (2.5),
Хорошо известно, что дираковский кинетический член инвариантен
относительно операции зарядового сопряжения
Y -> Y € = СТ т - (2,6)
При таком дискретном преобразовании дираковские коварианты Фт, ЧУ5Уи
Фу5ум^ четны, тогда как векторный ТуцТ и тензорный
коварианты нечетны. Отсюда следует, что лагранжиан (2.1) инвариантен
относительно комбинации дискретных преобразований
(2.7)
Поэтому ?КЭД не может порождать взаимодействий, для которых нечетно число
фотонных линий (напомним, что в аналогичном случае теории Лф4, которая
симметрична относительно замены ф - ф, не могут существовать функции
Грина с нечетным числом линий), Данное положение , называемое теоремой
Фарри, избавляет нас от диаграмм
(2.5).
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
263
Мы намеренно пренебрегли диаграммой
(2.8)
описывающей рассеяние света на свете. При простом подсчете степеней эта
диаграмма логарифмически расходится (в четырех измерениях), поскольку
каждый фермионный пропагатор ведет себя как (р)-"1 Но так как диаграмма
содержит четыре фотонные линии и возникает в калибровочно-инвариантной
теории, она должна быть пропорциональна (Fuv)< и иметь размерность восемь
(при со= 2). Таким образом, может показаться, что мы нашли диаграмму,
которая расходится и не соответствует фундаментальным взаимодействиям,
входящим в лагранжиан. Следует ли из этого, что КЭД неперенормируема? На
первый взгляд, кажется невозможным устранить эту расходимость,
переопределив входные параметры. Но вопреки простому подсчету степеней,
ящичная диаграмма (2.8) - ультрафиолетово-сходящаяся, и тем самым вопрос
снимается. Отсюда вытекает первый урок: в калибровочных теориях нельзя
