Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
i 5iyx + + S'l0' (3.11)
';amm ' л
где вариации даются выражениями (3.5) - (3.7). Заметим, что если
ограничиться преобразованиями БРС, для которых ? - действительная
величина, т.е.
то можно без труда разложить экспоненту, так как ?2 = 0. В результате
Это и есть нужное нам соотношение, хотя оно и получено в несколько
громоздкой форме. Но если мы введем производящий функционал для
одночастично неприводимых диаграмм
Таким образом, если выразить все через Г, то можно сразу же переписать
(3,13) в виде
?* = ?>
(3,12)
- х(л + Л*)^ + + Л*)х + --(д • А)а -
(д- .4) ст.* > ],
а е
а е
(3,13)
^ ^цкл' ^кл> Ткл' Лкл' Л*кл^ = Z[J р, х > Ъ а > о*] ~< J • Лкл +
+ гХТ"л + г' Ч'клХ + Л*клст + Лклст*>.
(3,14)
где кп и т.д, - классические источники, то
5Г
(3,15)
и т.д.
цкл
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 277
* 6 А
(Зо 16)
Это самая простая для анализа форма тождеств Уорда в КЭД. Применим теперь
эту формулу к простейшим случаям. Зависимость Г от г|кп и г) кл очень
проста, так как эти поля не взаимодействуют:
Г =ifd*xd*y4*Kn(x)A-'(x -у)г1кл(у) н-Г'[Ликп,Ткп, Укл], (3.17)
где Г ' не зависит от riKn и т]*кл, а Д' - обратный свободный безмас-
совый пропагатор:
+ fd*xd*yd4z^m(x)Apm{y)rp(x, у, z^z) + (3.19)
где ~ полны^ обратный фотонный пропагатор, S ~1 - полный обратный
фермионный пропагатор, а Гр - трехточечная функция. Конечно, Г содержит
много других членов, которые соответствуют индуцированным
взаимодействиям, отсутствующим в исходном лагранжиане.
Начнем с того, что применим соотношение (3.16) к (3.17) и (3.19),
удерживая только члены, содержащие н ц + г|*. Результат (в импульсном
пространстве) оказывается таким:
Д-1(х -у) - - <Э25(х -у).
(3.18)
Выражение для Г ' более сложно и начинается с членов
Г - fd*xdAy [_]_ Лцкп (х)д 1^ЛуКЛ(у) + '(* -у)^кп(у)] +
*цД Mv(*) + 4" V2 = °*
(3.20)
Если написать
^ MV - V +
(3.21)
278
Глава 8
то тождество Уорда (3.20) приводится к виду А + Bk2 + _L_ к2 = 0.
(3.22)
а
Например, в фейнмановской калибровке а = 1 это тождество означает, что
Л"Л = " 5uv*2 + <V2 ~WF(k2), (3.23)
где F(k2) имеет порядок по крайней мерее2. Мы уже проверили этот
результат во втором порядке по_е.
Далее, члены, содержащие У, Y, ^ (или любое ц*), приводят к другому
тождеству
-- Гц(х, у, z) - iS -1 (х - z)(x - у) + iS -1 (x - z)8(x ~y) = 0. (3.24)
<*u
To же самое уравнение можно записать в импульсном пространстве:
(Р "<?)/ц(*>, Р - <?, Ч) = 5 ~'(Р) ~ S ~Цд). (3.25)
Это первоначальная форма тождеств Уорда. Нетрудно проверить это
соотношение в теории возмущений:
гц = *Уц + " * ¦ > (3.26)
S ~'(р) = i Ф + nil + . . . . (3.27)
Более того, так как S~4p) мультипликативно перенормируется множителем Z2,
а Гу - Множителем Z,, из данного тождества Уорда следует, что
Z,=Z2, (3.28)
как мы и говорили ранее. Было бы глупо применять такую процедуру
вычитаний, которая нарушала бы равенство (3.25). Поэтому конечные части Z
у и Z2 всегда выбираются равными - прямыми вычислениями мы убедились в
том, что полюсные части равны. Заметим попутно, что если написать
гц(р, р-q, q) = c,yw + e2(Tuv(p-<j)v, (3.29)
то член магнитного момента С2 выпадает из (3.25) в силу антисимметрии.
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
279
Уже не раз отмечалось, что теории с безмассовыми частицами страдают
инфракрасными расходимостями, и КЭД из-за безмассовости фотона не
является исключением. Один из способов избежать этих расходимостей -
ввести малую массу фотона. Заметим,.что в случае КЭД это не нарушает
тождеств Уорда, так как можно сохранить инвариантность БРС даже при
наличии фотонного массового члена, если считать, что дух приобрел ту же
массу. Дело в том, что массовый член меняется как
Vp-bV^n + Cn*). <3-30>
5-1-4ц/4ц = -Хд • 4(?*г| + ?г|*) + Поверхностный член, (3.31)
В фейнмановской калибровке а = 1 эта вариация оказывается равной
- Мбц* + г,*5г!) = - Л5(г)*т|). (3.32)
Это означает, что БРС-инвариантность может быть сохранена ценой появления
массивной духовной частицы, которая ни с чем не взаимодействует! Такое
дополнительное преимущество, по-видимому, не обобщается на случай
неабелевых теорий, о чем будет сказано ниже.
Задачи
А, Покажите, что якобиан преобразования БРС равен единице.
Б. Пусть задан функционал
е-г^ = /(r)ф е-*[ф]-<7Ф>.
Покажите, что
;г, -<П> iLt>,
Оф
ткл
ГДе ГЧлЬ2[/]-</ф,к/'
**В. Выведите тождества Уорда для скалярной электродинамики (комплексное
скалярное поле, взаимодействующее с фотоном) в фейнмановской калибровке.
*Г. Выведите тождебтва Уорда для КЭД в аксиальной калибровке. ** Д.
Выведите тождества Уорда для КЭД в калибровке
дЛ + аАЛ °*
280
Глава 8
§ 4. КЗД, применения
Прежде чем переходить к практическому применению результатов, полученных
нами для КЭД, мы должны продолжить функции Грина в пространство
Минковского и выбрать рецепт перенормировки.
Фотонный пропагатор в евклидовом пространстве дается выражением (чтобы
избежать путаницы, мы восстановили черту над евклидовыми импульсами)
