Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 80

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 98 >> Следующая

доверять простому подсчету степеней, поскольку расходящиеся диаграммы
могут оказаться на самом деле конечными или по крайней мере не так сильно
расходящимися.
После такого мудрого предостережения займемся вычислением однопетлевых
диаграмм (2.4). Начнем с поправки к фермионной линии (опуская спинорные
индексы)
р -> р-1
(2.9)
- i
(2.10)
Используя свойства у-матриц в евклидовом пространстве
i ' Yv i = " 2 5nv -
перепишем фермионный пропагатор в виде
(2.11)
264
Глава 8
Вводя интегрирование по фейнмановским параметрам, получим Z(p) = - i
(ем2-ц)2 fdx ~ТО)Гц_____________ (2.13)
0 (2тг)2со [I2(l_x) + {p_l,)2x + n?x]2 •
Перейдем к новой переменной интегрирования
I '= I -рх; (2.14)
имеем
ЯЦ-У.у-Д, .*¦&'-">-"-К"
о (2тт)2" [Г2+т2х + р2х( 1 - х)]2
(2.15)
Член с / 'в числителе обращается при интегрировании в нуль, а два другие
члена дают [в силу формулы (Б. 16)]
S(p) = - г>2ц4-2"/йхуц[р(1 - х) -m]yp х
X
[р2х(1 - х) + т2х]со~2. (2.16)
Прежде чем проводить разложение вблизи со= 2, нужно использовать алгебру
у-матриц, которая теперь зависит от размерности. Действительно, из (2.11)
находим
УцУц = - 2 а , урГрур = [2 - 2(2 - со)]ур . (2.17), (2.18)
Положив е = 2 - со, можно теперь написать
ЗД -2,-iL- r{t)'jM г, х
16 ТГ2 " Чтгц.
(2.19)
х [р(1 - х) + 2т-е(р(1 - х) + т)].
После разложения вблизи е = 0 находим
2(р)= -_L.- -f- (?+4m) + i_lL_ [i-р(1 +y)+m(l + 2у) +
6 1птт2 отт^ z
+ /d*[p(l - x) + 2m]In ( ±2^1.Ix) + m2x ...)] + 0(e), (2.20)
о 4ттц2
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
265
где у - постоянная Эйлера - Маскерони. Сохраним этот результат на
будущее-
Рассмотрим теперь поправку к фотонной линии, называемую также диаграммой
поляризации вакуума:
1+р
njuv(p)= = (2-21)
2со/ " г 1 1 ]
= - (ец2 ~")2 SP [у YTWl yv Т%"
(2 тт) 2 03 / + ?> + m I + tn
(2-22)
где знак минус взят из-за фермионной петли, а след берется по спинорным
индексам, т-е, от произведения у-матриц. Это выражение переписывается в
виде
! х
(2тт) [j 2 + т2][р + /)2 + т2]
хЫг^Ф + t -m)YJ--m)]. (2-23)
Вводя фейнмановский параметр и новый импульс в петле
V = I + t"c, (2-24)
получаем
Пц"(р) = - (ец2~")2/^ м о
Г d2ail' Sp[yu(r +р(1 - х) - nijyv(l'--$x -ст)]
(2тг) 2" (/12 + т2 + р 2х(1 - я)] 2 '
(2-25)
Как обычно, члены, нечетные по /', выпадают при интегрировании по петле"
Если в 2 со измерения^ рассматривать у-матрицы как 2"х 2"-мерные, то
будем иметь следующие формулы для следов:
SP(>Vyv) = ~ 2"5цу ' ^2"26^
^Р^УрУрУчУст ) ~ ^"(бцрбуи + бца 5pV
(2.27)
266
Глава 8
Поэтому след, входящий в числитель выражения (2,25), мы переписываем в
виде
^1Р1С -РрРох^ - я^МУцУрУуУст) + (tm)2sP(yMyv)> (2.28)
где мы воспользовались тем, что след нечетного числа матриц равен нулю.
Пользуясь формулами (2.26) и (2.27), приходим к выражению для следа
(2.28)
2"|2Г^ -2х(1 -х)(рцр" -8wp2) - 5^[ I'2 + т2 + р2х{\ - х)]},
(2.29)
причем мы добавили и вычли величину бцур2*(1 - х). Собирая все
результаты, получаем
1 j2 со/ 21 I
Пу(р) = -(ем2-")22"/^/ d <
О
( 2тг) 2 w [/2 +т,2 +р2ф _зс)]2 5цу 2х(1 - х)(рцру -6Ц'У?2)
[l2+m2 + p2x( 1 -*)] [I 2 + т2 + р2х(\ -х)]2
(2.30)
Интегрирование по импульсу в петле с использованием формул (Б.1 6) и (Б.
18) приводит к тому, что первые два члена взаимно унич тожают-ся, и мы
получаем
р2 1 7^2 + р2х(\ - х)
4^)= 2^~Г(е)(^ -8^p2)fdxx(l-x)(-----------------------_---------) ^
(2.31)
После разложения вблизи ? = 0 приходим к выражению Яц.(Р)- (P"PU -
8""р! )[ J- - -1-г -fdxxf 1 -х)х
х In ( m2 + Р г*С - *) )2 + р(,), ,2.32)
I ттц 2
причем мы использовали значение интеграла
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
267
Последняя однопетлевая диаграмма представляет собой поправку к вершине
(2,34)
¦ , С d2C*l 1 1
1 ) /-rs---зг Ур л-^- Ya х
(2тт)2" р + I +т р / + $+т Га
х .. та . (2,35)
I 2
Она сложнее двух предыдущих диаграмм. Введем два фейнмановских параметра
и перепишем (2,35) в виде
гр(Р> q) = -2i (ец2 ")3 / dx / dy f -х
1 1 ~х J2C07
dyf;
О о
А /Ч
xYa(p+ I ~m)yp(l + <? -m) у о- [/2 + "?(* + у) + 21 • (рх +
+ ЯУ) + Р2х + Я2У З-3" (2,36)
После перехода к новой переменной интегрирования I' = I + рх + qy
(2,37)
выражение (2.36) принимает вид
1
d2a>l
гр(Р, Я) = - 2* ("ц2 т)2 fdx f dy /- ¦ х
И о о (2тт)2со
А Л Л /Ч а Л
Уст U + Р(1 - х) -т] у [I -рх + 9(1 - у) - т]уа
х ___________________________________________________________________^
[ / 2 + т2(х + у) + р 2х(1 - х) + q2y (1 - у) - 2р • gxy J3
(2,38)
Только квадратичная по I часть числителя приводит к расходящемуся
интегрированию по петле. Если написать
ГР(р> 9) = Гр(1>(р, 9) + Г'2"(р, я), (2.39)
268
Глава 8
Г2.40)
где Г11,1 содержит только часть числителя, квадратичную по I, то,
пользуясь формулой (БЛ 8), получим для расходящейся части
feu2-")3 1 1 "*
ГР(1) <Р' = - г' /л-л-сГ-Г(2
Р (4тг)" оо
1/2 усгУтУрУт Уст ~[ п?-(х + у) + р ^х(1 - х) + q 2у (1 - у) - 2р •
qxy]2'
а пользуясь формулой (БЛ 6), найдем
/.,,2 -со) з 1 1 -ж
гр<2' \Р, 0) = ~г - --------------- Г (3 - <4 / Ях / dy х
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed