Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
дут к сходящемуся интегралу по петле. Таким образом, находим
г а,. . • sT4 ^прис ]¦ , 1ш:х,
г2р(Р, Я) = -tgH Tf fdx Jdy x
16тг О о
X iyD(l -f)r(e)(
__________________________________________I(tm)_____________________________
___________)6 +
m2( 1 - x - y) + q2x + p2y - (qx - py)2
.2 Nn
+
ц p }. (6.61)
2 m2(l - x - y) + q2x + p2y - (qx - py)2
Эта формула очень сложна, но из нее легко извлекается полюсная часть
g2С__.._ 1
Г2р (Р, я) = -ig"*ypTfA - + . . . , (6.62)
о2тгz е
так что полный полюсной вклад в фермионную вершинную функцию равен
^ я) ¦ -imVP7f i^2(cnp"c ¦ 9 S.) 1 + . . . , <fi.63)
Теперь, после того как мы вычислили полюсную структуру поправок низшего
порядка к фермионному и калибровочному полям и к фермионной вершине, мы
можем из формул (6.39), (6.42), (6.46) и (6.63) извлечь соответствующие
перенормировочные константы. Они оказываются равными
z _!________i!_([C + с, , (6.64)
Zi " ' Тб^ UC"PMC f df * 1
Z2 = 1 - -if-2 (Cf -T~ ~ + Р2> + • ' ' ' (6-65)
2 16тг2 ' I df e
Z3 = 1+lf^2<<-TCnpHC-^-C/> 1 + F3>+ - . (6.6€)
?
где Fv f2, F3 - произвольные конечные части контрчленов. Все эти
выражения зависят от калибровки. (Например, в аксиальной калибровке
эффективный лагранжиан не содержит духов и имеет ту же структу-
304
Глава 8
ру, что и в КЭД, откуда следует, что выполняется тождество Zx = Z2,
которое явно неверно В фейнмановской калибровке.) Заметим, что если
тождества Славнова - Тейлора (6-14) должны выполнятвся, то фермионный
вкдад в четверное векторное самодействие должен расходиться, поскольку мы
явно фидим, что отношение Z^ Zj/Z2 содержит вклад фермионов. Эта ситуация
противоположна тому, что происходит с ящичной диаграммой в КЭД, которая
конечна. Как же может быть, чтобы одни и те же диаграммы были конечны в
одном случае (КЭД) и расходились в другом (КХД)? Дело очевидно, в том,
что диаграммы не одинаковы: в КЭД расходимость ящичной диаграммы исчезает
после симметризации по внешним фотонным линиям, отмеченным только их
векторными индексами; в янг-миллсовском же случае симметризацию по
внешним линиям можно осуществить двумя путями, либо симмет-ризуя как по
векторным, так и по групповым индексам, что, как и в КЭД, не приводит к
расходимости, либо антисимметризуя по отдельности по векторным и
групповым индексам. Именно этот новый вклад расходится (см. задачу).
Такие же рассуждения можно провести и для вклада фермионов в тройную
вершину (6.18).
А. Вычислите вклад духов в поляризацию вакуума, используя измененное
фейнмановское правило (5.5). Покажите в явной форме, что это влияет
только на содержащую р pv (продольную) часть Пуу. Найдите Za и сравните с
тем значением, которое получается по обычным правилам приложения В.
Б. Вычислите интегралы по параметру в Пци в 2со измерениях, исходя из
выражений (6.28) и (6.32). Затем произведите разложение вблизи со = 2;
выясните смысл лишних полюсов по е.
*В. Вычислите в фейнмановской калибровке в однопетлевом приближении
константу перенормировки духового поля Zg, а также константу
перенормировки вершины дух - калибровочное поле Z? и убедитесь, что Z?/Z6
действительно равно ZxlZv
**Г В фейнмановской калибровке вычислите наибряее расходящиеся части
диаграмм
и проверьте тождества Славнова - Тейлора для фермионной части .
Задачи
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 305
§7. Янг-миппсовская теория, тождества Спавнова - Тейлора
Мы видели, что эффективное действие, являющееся исходным пунктом
квантовой теории янг-миллсовского поля, уже не является более
калибровочно-инвариантным ~ из-за наличия члена, фиксируют щего
калибровку, и д^хов (в ковариантной калибровке). Члены, нарушающие
калибровочную инвариантность, имеют вид
?"оп - -Й- <VC"C. (7.1)
И
где 71(r) и л*(r) - доля духов, a G А - калибровочные условия. Оказывается,
что удобнее использовать вместо комплексных действительные грассмановы
поля шл и рА ; они связаны со старыми полями соотношениями
Л^ = --и-, - (со"4 + *р^), (7.2)
V 2
ЛМ=^ирА). (7.3)
Тогда с помощью со4 и рл калибровочно-неинвариантные члены переписываются
в виде
г"о. - ^ G',G'1 +"Л -^1%)ВС1'С- (7.4)
Рассмотрим теперь их поведение при калибровочном преобразовании
54(r)=3)м(r)сЛс, (7.5)
Где лс _ калибровочный параметр. Имеем
* (7.6)
И
если считать, что калибровочное условие линейно по .4^. Тогда мы
замечаем, что первый и второй члены могут взаимно уничтожиться, ес-
306
Глава 8
ли только мы выберем как надо калибровочный параметр. Действительно, взяв
Лс = ?рс, 5^ = --Lg^, (7.7),
в (7.8)
убеждаемся, что два первых члена в вариации (7.6) взаимно уничтожаются.
Более того, поскольку рс - действительное грассманово поле, параметр ?
сам должен быть действительным грассмановым числом с тем, чтобы Дс было
обычным числом, т.е.
?2=0. (7.9)
Таким образом, если можно добиться, чтобы выполнялось условие
6(Юцр)в = 0, (7.10)
то отсюда будет вытекать инвариантность полного эффективного действия,
так как преобразование поля Др имеет вид (зависящего от поля)
