Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Из-за калибровочной инвариантности лагранжиана в классической теории в
нем содержалась только одна константа связи. Однако наш эффективный
лагранжиан содержит члены, нарушающие калибровочную инвариантность, и
создается впечатление, что мы не имеем права считать все эти разные
константы связи равными друг другу, если только нет причины, по которой
квантовые поправки не нарушали бы эквивалентности. Ниже мы увидим, что
такая причина есть и она заключена в преобразовании БРС, которое мы уже
анализировали для абелевого случая в § 3.
В качестве первого применения вычислим вклад низшего порядка в неабелеву
комптоновскую амплитуду, что послужит нам проверкой знаков в
фейнмановских правилах. Имеем следующие диаграммы:
2-со fABC^p_qj Измененное р правило
(5.5)
Вклад первых двух диаграмм таков:
(5.6)
р + q + т
(5.7)
-i>V2Ci> (TfA тР
гА rB $ + q- m
f f ' р (р + q)2 + тп
(5.8)
290
Глава 8
а третья диаграмма (в фейнмановской калибровке) дает вклад
1
(q + k) '¦
5 4-20.МВСТС --------- [5 (-0-Й) +6 (k-q) +
S Ц j f . м2
+ ^p(2q + k)"].(5.9)
Сумма этих трех диаграмм должна удовлетворять требованию калибровочной
инвариантности, которое означает, что в силу нашего калибровочного
условия д • Ав = 0 продольная часть калибровочных частиц не должна давать
вклада. Поэтому мы свертываем выражение с qp и смотрим, что получится.
Вклад в свертку от первых двух диаграмм равен
Л Л А, А
rfT?, t ТВ ТА ,
(Р +q) +т2 (р - q) + т2
Пользуясь соотношениями
(5.10)
qq = -q2, (5.11)
q(P - т) = -2q • р (р + m)q , (5.12)
(р' - m)q = -2р' • q - q(p'+ т) (5.13)
и условиями для фермионов на евклидовой массовой поверхности, сог ласно
которым члены р + т слева и р' + т справа в амплитуде дают нулевой вклад,
так как выражение (5.10) входит в обкладках из волновых функций внешних
фермионов, а также соотношением
р2 = р'2 = -т2, (5.14)
перепишем (5.Ю) в виде
-*гУ-3"П?т' =^--*-4- г. + т,'4 Ус) -
I I 2q • р + q2 ' ' -2p-q + q
(5.15)
= i* V - 2"[тД т(r) ]Ya = -*V " 2afABC TfYa • (5.16)
В абелев ом случае этих двух диаграмм доетаточно и вклад продольных
калибровочных частиц действительно равен нулю (так как f лвс=0) даже при
произвольных значениях q2 и k2. В янг-миллсовской теории имеется
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 291
еще одна диаграмма, с которой нам надо справиться. Ее вклад в продольную
часть равен
_g2u4-2c*fABCTC 1__ [ уа (-q2- 2k• q) + qg (k -q) + q(2q + k)a ]
{(J + k)
(5.17)
= _g^-2">fABCTc ---------]----- [_ Y(j(q2+ 2k- q)-kka], (5.18)
; (q + k)2
В последнем выражении мы использовали уравнение Дирака для ферми онов,
чтобы исключить член k + q и переписать qk^. как -kkg. Окончательный
результат получается, если сложить (5.16) и (5.18):
_J_ у <*% -**"), (5.19)
(q + k)2
и это выражение в противоположность аналогичному результату для КЭД не
равно нулю! Но оно пропорционально проекционному оператору для второй
калибровочной частицы. Следовательно, продольная комп-тоновская
амплитуда, свернутая с вектором поляризации второго калибровочного поля,
равна нулю, если считать, что калибровочное поле удовлетворяет уравнению
движения (в противоположность этому, в КЭД не накладывается никаких
ограничений на вторую фотонную линию). Различие обусловлено тем, что в
янг-миллсовских теориях линии калибровочных полей несут заряд (в КЭД
этого нет) и потому их источники должны иметь заряд (см. задачу) и
взаимодействовать с другими линиями калибровочных полей, если только
калибровочное поле не находится на массовой поверхности.
Задачи
*А. Вычислите комптоновскую амплитуду в древесном приближении в
аксиальной калибровке = 0 в евклидовом пространстве. Сверните одну из
векторных линий амплитуды с п , Поясните результат.
*Б. Придумайте такое новое фейнмановское правило для источника вне
массовой поверхности, чтобы после добавления соответствующей диаграммы
продольная комптоновская амплитуда (5.19) обрати " лась в нуль.
*В. Повторите задачу Б в аксиальной калибровке.
292
Глава 8
§ в. Янг-миллсовская теория, однопетлевая структура
В данном параграфе мы подробно исследуем однопетлевую структуру янг-
миллсовских теорий. Так как теория очень сложна, нам необходимо ввести
какой-то руководящий принцип, прежде чем что-то вычислять: предположим,
что теория перенормируема (благодаря 'т Хофту мы знаем, что это верно).
Это означает, что мы можем устранить все ультрафиолетовые расходимости,
добавив к лагранжиану (5Л) контрчленный лагранжиан, который выглядит так
же, как и исходный, но содержит неизвестные коэффициенты перед каждым
членом, которые расходятся при в -> 0, где в = 2 - d/2. Запишем этот
лагранжиан в виде
?КОН,р - -f КЭ< "А' -Ч-Ф2 - К**'< ЛВС +
+ л* А%А*А% + j- кад-Авд- Ав +
+ Ж6д^*рд^в ~ -^K7g"*fABCAlh*A Vi(r) ~ -J-Ksg,4ABCn*A1%A^K2^h +
+ iKlg\fAl4YvTBf4 + imKj>4. (6.1)
Перенормированный лагранжиан
?пер =?.,+? (6.2)
эфф контр ' '
дает функции Грина, которые в пределе при е -> 0 ультрафиолетовоконечны.
В этом суть теории перенормировок. Теперь можно записать
