Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 85

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 98 >> Следующая

L/''iy ,4.21)
0 0 (х-у)
и мы с огорчением убеждаемся, что он расходится. Это наша старая
приятельница - инфракрасная расходимость. Как уже отмечалось выше, можно
избавиться от нее, придав фотону фиктивную массу Л, что сводится к замене
т2(х + у) величиной т2(х + у) +\(1 - х - у) в знаменателе. Тогда интеграл
(4.21) заменяется интегралом
г, 17\ (х + у)2 - 2(1 - х - у) /лот
Jdx.f dy2- '--------------------• (4.22)
0 о (х + y)zmz + А(1 - х - у)
который прекрасно сходится. Этой инфракрасной расходимости нет в членах,
пропорциональных стру, ни в Г(2), ни в Г (1). Все же она стоит на-пути
использования рецепта перенормировки на массовой поверхности, записанного
здесь в пространстве Минковского,
Гр(р, q) = -<?цеур при р2 = q2 = т2, (р-$)2=0> (4*23)
284
Глава 8
так как если мы не справимся с расходимостью в (4.21), то это будет
означать, что F, (инфракрасно) расходится. Заметим, что эту процедуру
можно осуществить и в евклидовом пространстве с той разницей, что k2 =" 0
будет означать, что р = д. Из выражения (4.22) находим
1 l-х т (х + у ) + А(1 - х - у)
F = 1 + у + fdx f dy [ 2 In----------------------2---------------
0 p 4тг^
(x + у)2 - 2(1 - x - у)
;]• (4.24)
(x + у)2m2 - Л(1 - x -у)
Вычислить эти интегралы представляем читателю.
Как уже отмечали, другой способ регуляризации инфракрасных расходимостей
заключается в том, чтобы взять интегралы по параметру, прежде чем
переходить к пределу при со -> 2. Начнем, например, с выражения (2.40)
для Г?2) . Числитель вычисляется аналогично предыдущему, за исключением
того, что в (4.18) появятся поправочные члены, стремящиеся к нулю как (со
- 2). Пренебрегая ими, найдем, что для всех частиц на массовой
поверхности
Гр(2)& Я) = -"¦ПЗ - соdy х
р (4тт) о о
2тгур[(х + у)2 - 2(1 -х - у)] + iimo {q _ р)т[Х-у(у+ х)] + 0(е)
Гт2(х + у)2]3
(4.25)
причем мы использовали симметрию подынтегрального выражения от-
носительно замены х -> у, чтобы переписать член с стру. Поскольку нас
интересует только бесконечная часть при е -" 0, рассмотрим вниматель-
нее интеграл
(4.261
Таким образом, мы в явной форме показали, что инфракрасная расходимость в
Г возникает теперь в виде полюса в плоскости размерности точно так же,
как и ультрафиолетовая расходимость. Однако в отличие
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
285
от последней инфракрасная расходимость возникает только в случае, когда
частицы находятся на своих массовых поверхностях и по крайней мере одна
из них безмассовая. Далее окажется, что этот полюс, остающийся после
регуляризации, в случае величин, представляющих физический интерес,
взаимно уничтожится с вкладом других диаграмм, проинтегрированных по 2со-
мерному фазовому пространству. Однако изложенный нами прием представляет
собой изящный расчетный метод и не влияет на калибровочные свойства
теории.
Раз уж мы занимаемся вершинной функцией, вычислим вклад члена с а в Г(2).
Так как он и ультрафиолетово, и инфракрасно сходится, то незачем
изощряться: положим со= 2. Тогда этот вклад равен
Г Р2>& ~q) = T-2aP-{q~ ?)^dx lf*dy Х = (4*2?)
р 2.пит 0 о (* + УГ
= <4-28>
Физический смысл этого индуцированного взаимодействия между фотоном и
фермионом очевиден, поскольку он вносит в эффективное действие член вида
е е1 - -
т 8тт2
T(p)cr (<7 - р)ТА (р - q)Y(q), (4.29)
или, в координатном пространстве, iе е2 - ~ - -
__ fV(x)a F <xmx)d4x. (4.30.)
im отгL '
Он приводит к поправке к собственному магнитному моменту g фер-миона (в
единицах магнетона Бора)
g = 2(1+0-), а = -^-. (4.31)
2тг 4тг
Мы видим теперь, каким образом теория поля приводит к поправке к
дираковскому магнитному моменту фермиона. Отметим, что эта поправка
конечна. Дело в том, что индуцированный член взаимодействи-вия (4.30)
отсутствует в исходном лагранжиане (его размерность равна 5) и, так как
теория перенормируема, все контрчлены входят только в выражения для
фундаментальных вершин, а не в индуциро-
286
Глава 8
ванные новые взаимодействия. Заметим, что мы не доказывали пере-
нормируемости КЭД, но недоверчивый читатель может обратиться к одному из
многих превосходных учебников на эту тему.
Оставшаяся часть функционала Гр дает также поправку к электромагнитным
силам между двумя заряженными фермионами, соответст* вующую вкладу
*' - Р)2и^- р)Пя)- (4.32)
Пользуясь нашим рецептом, нетрудно найти F{k2) с точностью 0(е2).
Результат в евклидовом пространстве имеет вид (см. задачу)
F{k2) = 1+JL.^i JL [1ПЛ - JL] + 0(a2), k2" m2. (4.33)
3 2tt Л 8
Подчеркнем, что эта поправка зависит от способа, которым мы выбрали а,
т.е. от вычитания (4.23).
Такая конкретная вычитательная процедура была выбрана потому, что она
позволяет провести прямое сравнение с экспериментом и найти таким путем
численное значение заряда е. Например, можно сравнить значение е,
определяемое условием (4.23), с нерелятивистским пределом сечения
рассеяния электрона куло-новским полем. Это не совсем строго, так как
обмениваемый фотон никогда в действительности не находится на своей
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed