Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
оператор проектирования и для него нет обратной величины; поэтому и
требуется добавлять калибровочный член, что сделал еще Ферми для КЭД,) Мы
можем без потери общности записать пропагатор в импульсном пространстве в
виде Др)5ци + Y(p)pppv. Тогда, потребовав, чтобы выполнялось условие
5РР = + Y(P)PXP2svp - - ~)РХ' Л8>
мы получаем для фейнмановского пропагатора, изображаемого графически
спиралью, выражение
А В Р\хР\>
гатт -> [ 5pv - (1 - а) --"- ], (1,19)
/* р - v Р2 и Р2
До сих пор мы считали параметр а произвольным, С точки зрения вычислений
проще всего калибровка Фейнмана, в которой а = 1;
А в 1 . D
^pmrrrri <-* -j- 8 , (Калибровка Фейнмана). (1,20)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
257
Если положить а = 0, то числитель пропагатора (1.19) превращается в
проекционный оператор, необходимый для запрета распространения лишней
моды. Такая калибровка называется калибровкой Ландау.
Она не очень удобна для вычисления фейнмановских диаграмм, но полезна при
проверке унитарности амплитуд в пространстве Минковс-кого.
Далее, эффективное действие содержит член, кубичный по калибровочным
полям,
Чтобы получить соответствующее фейнмановское правило, мы должны
переписать этот член в импульсном пространстве в>виде
Множителем - V, полностью симметричным относительно перестановки полей А,
и определяется фейнмановское правило. В частности, нам уже известна
структура индексов V, которая просто есть fABC, Следовательно, можно
написать
где функция Ррир(р, д, г) должна быть антисимметричной относительно
перестановки пар (д, р), (v, q), (р, г), так как множители fABC сами
полностью антисимметричны. Из выражения (1.21) следует, что 8 Должно
входить произведение iтц5ур . Этого достаточно, чтобы из соображений
симметрии выписать все остальные члены. Результат таков:
где, конечно (р + q + г) = 0.
Аналогично эффективное действие содержит квартичныи член
-gfd<xfABCAAAvB дцАС .
(1.21)
1- АА (р)А* (д)АСр (r)VAJpC (p. q"rh
(1.22)
(1.23)
В ei v
Д -г Р
с - igfABCl(riX -qii)bvр + (qp -Pp)^v +
+ (Pv -rv)BpiJlL (1.24)
i_ е2,ЛВЕ,СОЕЛЛЛВЛС AD _
(1.25)
258
Глава 8
который следует переписать в виде
±-Аа (p)A$ {q)Acp (г)А% {s)VAEpED (р, q, г, s), (1.26)
где множитель V полностью симметричен относительно перестановки троек {А,
\х, р), (В, v, q), (С, р, г) и (D, сг, s). Из выражения (1.25) явствует,
что этот член не содержит никаких импульсов и, следовательно, его
структура такова:
-1_ g2fABEfCDE5 8 .
^ (r) ' 1 ррuva
Исходя из этого выражения, мы должны построить выражение, симмет ричное
относительно замен {А, ц) -"(В, v) и (? р) -* (D, а). Так как множители /
антисимметричны, нам нужно по отдельности антисиммет ризовать выражение
по отношению к заменам р -" v и р -" ст, т.е. положить
^pp^vcr -(^pp^va - ^vp^pcr)"
чтобы учесть оба требования. Затем следует обеспечить еще две симметрии -
относительно замен (Л а) -"(D, р) и{4, р -¦ (D, Ь). Для этого добавим
соответствующие чланы и поделим результат на 3. Это даст нам последнее
фейнмановское правило
-g2[fABEfCDE(S s -8 S ) +
рр VI vp рст '
4- fCBEfADEis t- ~ _ ,
+ / / (5pp5va-5vp5pJ +
+ fDBEjCAE^g g -5 5 )]". п 27
v Стр VH v p ЦСТ '
Два последних фейнмановских правила не зависят от калибровки и
отсутствуют в абелевом случае. Все выписанные фейнмановские правила в
ковариантной калибровке собраны в приложении В.
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
259
Рассмотрим теперь калибровку Арновитта - Фиклера, которую мы запишем в
евклидовом пространстве в необычной форме
пцАв= О, пцпм = 1. (L28)
Легко видеть, что в этой калибровке выражение
(1.29)
8ав(у) ц м м
= SABnpd[i8(X-y) (1.30)
не зависит от А 0 Следовательно, как в абелевой, так и в
неабелевой
теории духи не связаны с калибровочными полями, а потому можно без них
обойтись , Именно в калибровке такого типа структуры аб'левой и
неабелевой теорий наиболее близки друг другу. Нам остается только
позаботиться о пропагаторе калибровочного поля- Квадратичный по А член
имеет теперь вид
fd*x[ 1_ (^5 --"V1? ) - "AsVpB] ' или, после интегрирования по частям,
-1- f d*xAB [ _ дрдр8^ - д"дч - npnv] Ав . (1.31)
Фейнмановский пропагатор равен обратной величине выражения в
квадрат-
ных скобках. В импульсном пространстве (см. задачу) получаем
В j р р
" ~п~'р +TlvP^ ~ '(п . -pj 2 (аР2
(1.32)
Как нетрудно видеть, преимущества такой калибровки сомнительны: духов
нет, но очень сложна структура пропагатора.
Заметим, что в выведенных нами фейнмановских правилах имеется некоторый
произвол: знак пропагатора д^ха и вершины взаимодействия духа с
калибровочным полем не существен, так как мы всегда будем иметь дело с
четным чйслом линий духов.
260
Глава 8
В заключение выпишем дополнительные фейнмановские правила для связи
калибровочных полей с фермионами, Хотя калибровочные поля можно связать
независимо с левыми и правыми фермионными полями, мы остановимся на чисто
векторной связи, в которой левые и правые фермионы связаны одинаково" В
