Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
метода размерной регуляризации, который контролирует бесконечности, не
нарушая калибровочной инвариантности .
Теперь извлечем из ГТ(1) и П(2) полюсные части. После небольших
алгебраических преобразований находим, что
iAcDtBcD -y-fvM f -
j бТТ U
-(-^r + y>V>2 + (-y-^-y )рЛ +
+ fdx ln( x) ) [ 2p p (1 + 5*(1 - *)) -
о 4ттц p v
~P\V (5- lb (1 -*))] +0(e) I. (6.34)
Отметим появление lnp 2, указывающее на наличие инфракрасной расходимости
на массовой поверхности при р2 = 0 (только в пространстве Мицковского,
так как в евклидовом пространстве из условия р2 = О следует, что и р^ =
0). Кроме того,
п<^"= ^ fACDfBCD\(\\vP2^ 7 - f(r'1}
Х5^Р2~ YYP^Pv ~ {dX
+ 2РцР"х (1 - х)] + 0(е )|, (6.35)
Сумма П(1) и П(2) дает полный чисто янг-Миллсовский вклад в поля-
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
299
ризацию вакуума
2 , , Ю 1 62 10
-w*'1-*- - Т1-
-Jf1" ?г], ,6.36,
и мы вновь получаем магическую структуру проекционного оператора.
Конечная часть имеет аналогичную структуру и содержит множитель In
?>2/4тгц2, который, как уже отмечено, инфракрасно расходится. Элементы
матриц ТА, образующих алгебру Ли группы G в присоединенном представлении,
можно отождествить со структурными константами
{ТА)ВС = ^ifABC. (6.37)
Далее, для любого представления R группы G с матрицами представ-
ления Т'А можно положить
Sw,(TAT*) = CptAB, (6.38)
где след берется по индексам представления. Число С" называется
ti.
индексом Дынкина представления R; оно равно квадратичному оператору
Казимира, умноженному на размерность представления и деленному на
размерность группы. Точное значение индекса Дынкина зависит от нормировки
Т-матриц, которая раз и навсегда фиксируется заданием структурных
констант теории. Шкала структурных констант в свою очередь фиксируется
определением констант g, так как они всегда входят в комбинации gfABC.
Очень удобно переписать все наши выражения через индексы Дьшкина. Тогда
получим
<"в "¦> - *АВ -Р|А>' -Г ~ * ¦ ¦ • • <6-39>
Заметим, что в структуре проекционного оператора нет ничего священного:
ее можно изменить, если только мы примем измененное правило (5.5) для
духов.
300
Глава 8
Вклад фермионов в поляризацию вакуума
(6.40)
не нужно вычислять заново, так как структура его та же, что и в КЭД, не
считая некоторых теоретико-групповых множителей. Действительно,
причем мы использовали формулы (6.38) и (2.32). Сравнив (6.42) с (6.39),
можно видеть, что вычеты в полюсах имеют противоположные знаки (подробнее
об этом ниже). Сумма выражений (6.42) и (6.39) дает полную однопетлевую
поправку к поляризации вакуума.
Следующая поправка к фермионной линии (если игнорировать головастики)
дается диаграммой
и является матрицей как в спинорном пространстве, так и в пространстве
представления фермионов. Нетрудно видеть, что
n?v>) = Sp(^7f)rC3fl (Р)=
(6.41)
4_
3
. + , .
8
(6,42)
(6.43)
z<P) = Tfrf 1кэа(р),
(6.44)
где 2КЭ^ определяется формулой (2.19). Кроме того, матрица размерности dj
х df перед выражением (6.44) диагональна и равна
рА рА __ ^
(6.45)
где мы не указали индексы представления. Отсюда получаем
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
301
Однопетлевая поправка к фермионной вершине состоит, если пренебречь
диаграммами-головастиками, из двух диаграмм. Первая из
имеет ту же структуру, что и в абелевом случае, В самом деле,
Теперь с учетом антисимметрии по С и В перепишем это в виде
пользуясь формулами (6.37), (6.38) и (6.45). Вспоминая результаты § 2,
получаем
Мы замечаем, что вычет второго члена в точности такой же, как и в (6.46),
поскольку в нем не отражается неабелевый характер теории и, стало быть,
должно выполняться старое тождество Уорда КЭД. Если должны выполняться
тождества Славнова - Тейлора, то отношения Zj/Zj и Zg/Z6 должны быть
равны. Но последнее отношение не содержит вклада фермионов на
однопетлевом уровне, как это видно из (6.17) и (6.20); следовательно,
перенормировка фермионной волно-
них
Г1Ар(Р> ") =
(6.47)
(6.50)
(6.49)
(6.48)
(6.52)
(6.51)
+ . . . . (6.53)
302
Глава 8
вой функции должна в точности сокращаться членом в Z1. Именно так и
происходит.
Второй вклад в вершину определенно неабелев по своей структуре:
\(Р, q) = . (6.54
По установленным правилам
г2>,
Х W + Р)Д р +(q-2p~l)v5iip + (Р,+ q - 20рБцу] (р _ I )2[l _ q)2
(6.55)
Теоретико-групповые множители легко преобразуются, так как с учетом
формул (6.37) и (6.38)
fABCTB~C i fABCf BCD-pD i r TA
' 'f f~~2~ f =T "Рис / (6.56),(6.57)
Вводя фейнмановские параметры и соответствующим образом сдвигая
переменную интегрирования в петле, получаем
г2>, 9)--А3,Сиио TfhxY'iysPL X
0 0 (Лг)
Np(l р. Ч)
[I'2 + т20 - х - у) + q2x + р2у - (qx - ру)2]3
(6.58)
где Vp = 21'pyJ'yv + Np = 4ГГ(1 - е ) + ffp, (6.59),(6.60)
причем А/р содержит только члены, линейные по /' и выпадающие при
интегрировании, а также члены, не содержащие IПоследние приве-
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 303
