Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 81

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 98 >> Следующая

^4тт) о О
Уст Ы1 ~ х) -qy ~m]Yp[q(\ -у) - рх -dy0
[m2(x + у) + р2х( 1 - х) + д2у(1 - у) - 2р • дху]3
(2.41)
В последнем выражении мы можем безбоязненно положить ш= 2, так как
интеграл сходится1; в результате получим
ГР(2) (Р, q) = - i (е" 2 -") / dx / dy х
lo-rr-4 n О
Уст[#>(1 - х) - qy -m]yp[?(l - у) - рх -т]уа
(2.42)
т2(х + у) + р2х(1 - х) + <?2у(1 -у)-2р' qxy К этому выражению мы вернемся
позже. Полезное тождество УаУссУрУрУст = 2УрУрУсс " 2(2 - со)уа урур
(2.43)
совместно с формулой (2.18) позволяет переписать (2.40) в виде
Г(1>(р, ")=-1вц'ур Г(е)(1 -e)2fdxfdyx
8п о о
х ( П?(х + у) + р2х(1 - щ) + q2y( 1 - у) - 2р Г qxy 4тгр3
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
269
е2 1 1 1 -ж
= -ie^Yp j -у - 1 -2/ dxf dyx
16 ТГ2 E О 0
, Г т2(х + у) + р2х(\ - х) + q2y( \ - у) - 2р • qxy
*1п 1-----------------------------------------------] (2.45)
4ттрг
Мы еще вернемся к этим выражениям, так как они содержат много интересной
физики. Чтобы должным образом их проанализировать, нам придется совершить
продолжение в пространство Минковс-кого и вычислить полученные выражения
на фермионной массовой поверхности. Мы обнаружим, что они инфракрасно
расходятся (все, кроме ТТЦ-У), и рассмотрим вопрос о том, как обойти эту
трудность.
Но пока что сосредоточимся на структуре теории поля. Вычисление
однопетлевых диаграмм позволяет выяснить необходимую для перенормировки
КЭД структуру контрчленов.
Можно показать, что число примитивно расходящихся диаграмм в КЭД конечно
(гл. 5). Как мы уже отмечали, для перенормируемости необходимо, чтобы
вклад диаграммы рассеяния света на свете был конечным в ультрафиолетовой
области. Предположим, что это действительно так (см. задачу).
Исходный лагранжиан в фейнмановской калибровке имел вид
?кл = -j-ЦА -<?Иц)2 + ----(<9^)2 + тар +
+. tmTT + i ер2-со ТЛТ. (2.46)
Попробуем записать лагранжиан контрчленов в виде
"контр =K24W + г'тКтТТ + г>м2-"К1ЧМТ+ i_K3FMVFuv +
НКа/2)(дцАи)2. (2.47)
Тогда перенормированный лагранжиан
?пер = ?ц.п + ?контр (2.48)
можно выразить через голые величины
Ч'0 = (1 + Я2)'/44' = 2*4'> (2'49)
A""(\+K3)*A" = Z*A^ (2.50)
270
Глава 8
." 1+*1
(1 +А'2)(1 + к3ул
Z
(2.51)
m0 = m( 1+ Кт)/( 1 + К21 amZm/Z2, a'1 =(1+Ke)/(1 +K3)=Za-/Z3
(2.52)
(2.53)
в виде
?пвр = Т0(9Т0 + im0^0A>0 + е0^0 40у0 + -
^уЛцо)
_Л (2.54)
(д • Л0)2 = Z2y dV + irnZmW + eZJVAV +
(2.55)
где мы ввели дайсоновские множители Z. Такая форма записи показывает, что
калибровочная инвариантность лагранжиана <?кп сохранится и в ?пеР, если
положить Z^ = Z2, с тем чтобы сохранить структуру ковариантной
производной, которая, очевидно, имеет в ?пеР вид
Однако отсюда еще не следует, что Z, = Z2 (хотя так и окажется!), потому
что мы нарушили калибровочную инвариантность нашего лагранжиана, включив
член, фиксирующий калибровку, так что множители Z стали зависеть от
калибровки.
Контрчлены можно найти путем однопетлевых вычислений. Во-первых,
вычисление поправки к фермионной линии
е2 1
2(р) = - i (р + Ат) + Конечные члены (2.57)
1 бтт 2 е
приводит к контрчленам
(2.56)
(2.56)
(2.59)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
271
где F2 и Fm - произвольные конечные части, аналитичные при е -> 0 и
зависящие только от т/\х. Во-вторых, поправка к фотонной линии
(Р) = -- + Конечная часть),
16 ТГ1 ?
приводит к новому пропагатору
v ^ц>\> (r)av
(2.60)
p- +~p~ V ~jj- + (2.61)
= 5mv (i _ 1 x e2 1
12tt2 e p* 12-rr2
(2.62)
так что
*э = - ^ (- +F3). (2.63)
где F3 _ произвольная безразмерная функция. Продольная часть пропагатора
дает
е2
° Цтг2 (Т~ +F"^' (2"64)
что, конечно, равносильно перенормировке величины а, Заметим, что в
калибровке Ландау, где a = 0, поправка к пропагатору калибровочного поля
содержит тот же самый оператор проектирования, что и в голом пропагаторе,
и потому а не изменяется из-за поправок, но это верно только в калибровке
Ландау,
Наконец, поправка к вершине
е2 1
Гр(?>, q) = ieu*ур(-_ _________ + Конечная часть) (2.65)
16тт2 Е приводит к выражению
к' '--тар (-г- +f'b №66)
272
Глава 8
где Ft - конечная часть контрчлена. Итак, суммируя все результаты, имеем
Z, = 1 - (_i_ + F,) + 0(H), (2,67)
1 ОТТ2 ?
z,-l - -^,(-1- +Ег> + ..., <2-68)
z,-l tF,) + ..., (2.69)
12тг^ e
+ FJ + ..., (2.70)
4ttz e
+F"). (2.71)
1 2тг ?
Мы видим, что предполагаемое соотношение Zy=z2 в данном порядке теории
возмущений выполняется с точностью до конечной части контрчленов. Поэтому
на основании формулы (2,51) мы можем записать голый заряд в виде 2
ео = ецЕ 11 +---------------- + Конечные части + 0(H)],
(2,72)
24л-2 е
Таким образом, если игнорировать конечную часть контрчленов, приняв
независящий от масс рецепт перенормировки, то мы можем най ти из этого
соотношения, как изменяется калибровочная константа связи в зависимости
от масштаба [гл, 3, формула (6,13)}:
de е3
"ТТ ' 155 • (2'73)
Знак здесь такой же, как и в скалярной теории. Решение этого уравнения
имеет вид
<2-74"
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed