Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
перенормированный лагранжиан, выразив его через голые поля и параметры, в
виде
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
293
+ "ЛпЪЧтИ!-{*r^B4V<?5цПо -''Wo1 (6.3)
Голые поля, константы, связи и массы связаны со своими перенормированными
(конечными) двойниками соотношениями
VQ-0 +K2)*VZ*V, (6.4)
Лио = (1+К3)ЧВ" ZX' (6>5)
яв0 = (I + К6)\в ^ Z^B, (6.6)
% = т{ 1 + Кт)/(1 + к2) s mZm/Z2, (6.7)
о"1 = ot-1(l + Ка) /( 1 + К г) = a -1Z0 /Z3, (6.8)
1 + К j
go=flMe г =n?ZJZ2Z* , (6.9)
2 3
1 +^4
So = гц? -3 g^ZJz}, (6.10)
U + K5)*
S0 =^E------------- ^ №eZ*/Z3, (6.11)
z3 1 + К
g7 = s ^?VZ3*Z6 > (6-12)
3 6
So" =S^-}JK& * №*zg/Z?Z6. (6.13)
3 Z6
294
Глава 8
Этот список определений удлинился из-за того, что мы ввели пять
независимых голых констант связи. Но все они окажутся равными вследствие
тождеств Славнова - Тейлора, являющихся тождествами Уорда для янг-
миллсовских теорий. Равенство констант требует выполнения следующих
соотношений между константами перенормировки:
Теперь мы вычислим эти константы перенормировки с точностью 0(h) в схеме
размерной регуляризации.
Прежде всего запишем в диаграммном представлении однопетлевые вклады
(0(h)) в фундаментальные взаимодействия янг-миллсовской теории:
гт^^гггГ' = ттлт + + + /тлпп? утят' + /щлг^^-гтг' +
(6.15)
+
(6.16)
¦
(6.17)
(6.18)
пгпг^Рггпг
ОПТТШГ
+
'ТЛПг1--*ТЛЛГ прлг
пстп-frrr
nsrr Цгслг
(6.19)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
295
О5- +
(6.20)
46.21)
Эти диаграммы вполне должны убедить читателя в сложности янг-миллсовских
теорий и объяснить ему, почему для вычислений в высших порядках
необходимы сложные программы для ЭВМ. Взаимодействие двух духов с
калибровочным полем представлено только один раз - в диаграммах (6.20).
Начнем с вычисления однопетлевой поправки к поляризации вакуума. Как
показано в формуле (6.15), эта поправка состоит из шести частей. Сначала
вычислим
В фейнмановской калибровке, не забыв фактор симметрии, получим
с
(6.22)
гДе Nuw( J. Р) = [(2* + Р)^ра - (I + 2р)а6цр + (р -I I )р6Т4 ] х
х [(21 + _(2p + Z)ff6pv +(p-Op6avl =
(6.24)
296
Глава 8
(8со- 6)yv + (4со- 3){lupv + lvpu) + (2со- 6)р^ +[(p-l)2+
+ (2p + l)2]Suv (6.25)
и учтено, что 5ЦЦ = 2со. Это выражение содержит в четырех измерениях как
инфракрасную, так и ультрафиолетовую расходимость. Заметим, что
традиционное лекарство от инфракрасной расходимости, свя-
в данном случае к куче неприятностей, так как при этом не сохраняется
калибровочная инвариантность. Поэтому ниже мы будем стараться находиться
подальше от точки р2 = 0, в которой и возникает инфракрасная
расходимость. Когда же это окажется невозможным, мы обратимся к методу
размерной регуляризации (§ 4),
Вводя фейнмановский параметр и производя замену переменной интегрирования
в петле, получаем
Р) = (8со- 6)lul" + [(8ш- 6)х(х - 1) + 2со- 6]рцру +
где мы пренебрегли линейными по I членами, так как при интегрировании они
все равно дадут нуль. Интегрирование по переменной в петле приводит к
выражению
Оставим пока этот результат в том виде, как он получился, и вычислим
вклад духовой петли.
занное с добавлением калибровочной частице малой массы, приводит
u^AB(p)=-lg2n24ACDfBDC f dxf
цу 2 о
d2a>l Н^(1-рх,р)
(2тг)2со [12 + р2х( 1-х)]2'
(6.26)
После небольших алгебраических преобразований находим
+ [212 + р2(2х(х - 1) + 5)]бцу;
(6.27)
A CDfBCD
f dx i________________Lri__________
о [ p 2x (1 - x) ] 1 "
(6co - 3)6uvr(l - со)
+
+ o[ - 2x0 - X)) + V**2(r)- 6 - (8cJ- 6)*(1-*))]!
(6.28)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
297
Этот вклад определяется диаграммой
С
D
Вспомнив про знак минус для духовой петли, с помощью правил приложения В
найдем
Это выражение также инфракрасно расходится. После введения фейн-
мановского параметра оно принимает вид
Если бы мы использовали измененное правило (5.5) для вершины духа, то
пришлось бы изменить только член с p^pv (См. задачу).
Третья диаграмма имеет вид
Но эта диаграмма, так же как и две другие диаграммы-головастики в формуле
(6.15), обращается в нуль при размерной регуляризации. Она имеет
структуру диаграммы-головастика, и, так как в вершине не возникает
зависимости от импульса, эта диаграмма может давать только поправку к
массе калибровочной частицы. Но в силу калибровочной ин-
oJ J (2тт)2со [12 + р2*(1 -*)]2
fACD f BCD ldx J 2
. (6.31)
- VO -со)
(4тг)"
о [p 2x (1 - x) I1 - w
P|A*0 - *)Г(2 - cc)
(6.32)
[p2x(\-x)]2-"
(6.33)
298
Глава 8
вариантности у калибровочных частиц отсутствует массовый член. Если же мы
примем любую процедуру регуляризации, нарушающую ка-и либровочную
инвариантность, то диаграмма будет приводить к ненулевому массовому
члену. Это было бы артефактом, а потому не могло бы повлиять ни на какой
физический результат. Например, если добавить калибровочным частицам
малую массу, чтобы регуляризовать инфракрасную расходимость, то диаграмма
(6.33) будет вносить вкад в эту фиктивную массу. Это еще один пример мощи
