Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
изображения ко второму: кривые х = const являются окружностями при первом
способе и горизонталями при вто-
128
Об одной геометрической теореме
ром; кривые х = const будут радиусами-векторами при первом и вертикалями
при втором.
Необходимо все же заметить, что одной точке кругового изображения
соответствует бесконечное число точек спрямленного изображения (х, у; х,
у + 2тг; х, у + 4тг;...).
Таким образом, мы будем различать кривые, замкнутые в широком и в узком
смысле; первые являются замкнутыми на круговом изображении и не замкнуты
на спрямленном; вторые являются замкнутыми на обоих изображениях.
Предполагается, что преобразование Т всегда однозначно: координатами
точки М будут х и у, а координатами преобразованной точки М' будут X и Y;
координатами же преобразованной точки в случае обратного преобразования
Т-1 будут (X) и (У).
Наше круговое кольцо ограничено двумя граничными окружностями
х = X = а, х = X = Ь,
из которых первая внешняя, а вторая внутренняя; обе сохраняются при
преобразовании.
Замечательные кривые, которые нам придется исследовать, следующие.
1) окружности (или горизонтали) х = с;
2) кривые X = с, преобразованиями которых являются кривые х = с;
последние, как и первые, должны быть замкнутыми в узком смысле;
3) кривые X = х, причем две из этих кривых рассматриваются как различные,
хотя они и имеют одно и то же уравнение, если от одной из них нельзя
перейти к другой по непрерывному пути, удовлетворяющем тому же уравнению;
4) линии, преобразованные из них, (X) = х.
Если мы будем рассматривать три кривые X = х, X = с, х = с, то всякая
точка, принадлежащая двум из них, будет принадлежать и третьей, и если
две из них касаются между собой, то в той же точке их касается и третья.
На кривой X = х не может существовать такой точки, в которой было бы Y =
у, так как эта точка, в которой мы имели бы X = х, Y = у, была бы точкой,
не изменяемой с помощью Т, а мы предположили, что этого случиться не
может. Итак, Y - у сохраняет свой знак
4. Определения и обозначения
129
вдоль той же кривой X = х, что понуждает меня различать два вида кривых X
= х: кривые положительные и отрицательные, в зависимости от того,
положительна или отрицательна разность Y - у. По предположению разность Y
- у всегда положительна на одной из граничных окружностей и отрицательна
на другой. Все кривые X = х, которые примыкают к одной из этих
окружностей, следовательно, положительны; все же те, которые примыкают к
другой, отрицательны, и ни одна кривая X = х не может проходить от одной
окружности к другой.
Итак, кривые X = х делятся на три категории:
1. Открытые кривые, оба конца которых лежат на одной из граничных
окружностей.
2. Замкнутые кривые в широком смысле.
3. Кривые, замкнутые в узком смысле.
Мы существенно не снизим общности, если предположим, что ни одна из этих
кривых не имеет двойных точек.
Рассмотрим спрямленное изображение и на этом изображении те точки, в
которых касательная к кривой X = х горизонтальна; эти точки будем
называть основаниями или вершинами, в зависимости от того, будет ли в них
высота (измеряемая координатой X) максимумом или минимумом. Отрезок
кривой X = х, заключенный между последовательно расположенными основанием
и вершиной, на котором вследствие этого не находится ни другое основание,
ни другая вершина, будет называться ветвью кривой X = х, и я всегда буду
употреблять слово ветвь именно в этом смысле.
Если М точка кривой X = х, то преобразованная из нее точка М' будет иметь
ту же высоту (это в точности то, что выражает уравнение X = х и окажется
на преобразованной кривой (X) = х, откуда вытекают следствия: каждое
основание или каждая вершина X = х преобразовывается в основание или в
вершину (X) = х, которые имеют ту же высоту; всякая ветвь X = х,
пробегаемая, например, вверх, будет иметь в качестве преобразованной
ветвь (X) = х, пробегаемую также вверх.
Если ветвь X = х положительна, то преобразованная из нее (X) = х не
сможет пересечь ее и полностью находится справа (все время на спрямленном
изображении); ее также можно назвать положительной. Наоборот, она целиком
находится слева, если кривая X = х отрицательна.
130
Об одной геометрической теореме
§ 5. Пересечение двух замкнутых кривых
Рассмотрим окружность х = с и ее обратное преобразование X = с, которое
также является кривой, замкнутой в широком смысле. Эти две кривые
допускают на круговом изображении четное число т точек пересечения,
однако эти точки на ортогональном изображении будут представлены
бесконечным числом точек. Начнем с того, что перенумеруем эти точки
пересечения, следуя по кривой X = с в направлении возрастающих Y. Если мы
пройдем затем х = с в направлении возрастающих Y, то встретим все эти
точки пересечения, однако, в общем случае, в ином порядке. В том случае,
когда они следуют друг за другом в точном соответствии с порядком своих
номеров, мы будем называть их распределение нормальным.
Мы уже отметили, что число т действительно различных точек пересечения
