Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
основные идеи, которые он оспаривает, таковы: первая, что не существует
никакой математической сущности, которая бы не определялась конечным
числом слов, и вторая, что все определения должны быть, как он их
называет, "предикативными". Например, Пуанкаре возражает против
известного доказательства того, что любое алгебраическое уравнение f(x) =
0 имеет корень, зависящий от существования минимума |/(ж)|. Поскольку с
его точки зрения нельзя говорить о совокупности всех значений f(x) иначе,
как о тех значениях, для которых х определен конечным числом слов. Это
недопустимо, так как понятие совокупности определяемых значений х
непредикативно. Трудность заключается в том, что в этой "совокупности"
содержатся элементы, которые сами определены в терминах "совокупности",
и, следовательно, это понятие приводит к порочному кругу. Разъяснение
значения слова "предикативный", данное в лекции, не совсем ясно.
Пуанкаре начинает с рассмотрения очевидного противоречия между
доказательством Ришара (основанного на первой из сформулированных выше
идей) того, что континуум счетен, и доказательством Кантора, что он
несчетен, однако показано, что это противоречие несущественно, так как
Ришар использует непредикативное определение.
Затем он переходит к тому, как необходимо излагать с его точки зрения
доказательство теоремы о том, что любое алгебраическое уравнение f(x) = 0
имеет корень.
В заключение кратко затрагиваются другие вопросы. По Пуанкаре, теорема
Бернштейна верна, а задача правильного упорядочивания континуума (в
канторовском смысле) кажется ему не имеющей значения. Кроме того, он не
убежден в существовании второго трансфинитного кардинального числа. Все
эти выводы находятся в точном согласии с двумя основными идеями.
Геттингенские лекции Пуанкаре
207
Принципиальное возражение, которое может быть выдвинуто против таких
взглядов Пуанкаре (и многих других математиков), практическое,
заключающееся в том, что эти взгляды очень сильно ограничены понятием
класса. Однако скорее интуиция, чем логика, восстает против их принятия.
Судя по прошлому, этот факт говорит в пользу этих взглядов; они
составляют шаг на пути исключения бесконечного из математики, и есть
основания сомневаться, будет ли в дальнейшем играть какую-то решающую
роль в строгой математике понятие бесконечного класса как объективно
существующего.
Новая механика. В этой заключительной популярной лекции рассмотрены те
видоизменения, которым может подвергнуться механика в результате
последних достижений в физике. Если окончательными уравнениями движения
окажутся уравнения электромагнитного поля, а эксперименты, кажется,
указывают на это, то следуют поразительные выводы: ни один эксперимент не
даст возможность отличить, находимся ли мы в состоянии покоя или
совершаем равномерное прямолинейное движение относительно эфира; никто не
сможет сказать, что два события одновременны в абсолютном смысле; кроме
того, все тела будут испытывать сокращение в направлении своего движения.
Вот эту интереснейшую тему, точнее, получающуюся в результате
видоизмененную механику, и рассматривает Пуанкаре. Можно надеяться
заметить отклонение от законов ньютоновской механики только для тел,
имеющих очень большую скорость. Сейчас Меркурий движется с наибольшей из
всех планет скоростью, и именно Меркурий обладает небольшой аномалией, не
объясненной до сих пор. Новая механика частично объясняет это, как
показал Лоренц, однако нигде больше не дает ощутимых изменений в движении
планет. Представив эти факты, Пуанкаре заканчивает замечанием, что
ньютоновская механика навсегда останется механикой при скоростях, малых
по отношению к скорости света, и потому сохранит свое фундаментальное
значение.
Последние работы А. Пуанкаре
Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Компьютерная
подготовка: И. В. Рыжова
С. В. Высоцкий Компьютерная графика М. А. Дьячкова Корректор А. В.
Пигузова
Подписано к печати 22.02.01. Формат 60 х 841/16.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 12,09. Уч. изд. л. 12,32. Гарнитура
Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1. Тираж 1000 экз. Заказ №
Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика" 426057, г.
Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в ФГУП "Полиграф-ресурсы". 101429, г. Москва, ул. Петровка, 26.
