Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
противоположность тп, но если целиком обойти область А, то разность Y - у
должна меняться непрерывным образом, что и определяет п.
Установив это, рассмотрим преобразование Тр, т. е. р-ю степень
преобразования Т; такое преобразование сохраняет х = а и ж = 0, и оно
допускает, как и Т, положительный интегральный инвариант, в соответствии
с принципами, изложенными в моей книге "Новые методы небесной механики";
оно даст нам, с другой стороны, на линии х = а
и при х = О
Оно существенно не будет отличаться от того, которое получается из него
при замене Y на Y + 2д7г, где q - целое число, так как Y определяется
лишь с точностью до кратного 2л\ Для этого нового преобразования получим
на х = а
можно найти бесконечное число пар целых чисел р и q таких, что
Y - у = 2тг(/3 + п).
Y - у = 2жр([3 + п).
а при х = О
Y - у = 27г[р(/3 + п) + q].
За вычетом того случая, когда
(/3 + п)(а + т) = 1,
(aT^+q)W + n)+q]<°'
126
Об одной геометрической теореме
т. е.
а + т Р
1 <-|</3 + п.
а + т Р
Итак, теорема будет применима, и окажутся по крайней мере две такие
точки, которые не меняются при нашем преобразовании. Эти две точки дадут
нам два периодических решения.
Так как р и q могут принимать бесконечно много значений, то мы получаем в
результате бесконечное число периодических решений (что до сих пор было
доказано лишь для малых значений масс).
Предположим, что для определенных значений данных задачи построены кривые
Со и Cq, а также область А. Будем теперь менять данные задачи. Со будет
меняться непрерывным образом; можно также менять непрерывным образом А,
сохраняя притом ее существенные свойства, в частности, отсутствие
контакта. Никаких препятствий мы при этом не встретим, пока будет
существовать Со- Итак, пока будут существовать Со и Cq, все то, что мы
высказали, остается в силе. Периодические решения, соответствующие паре
целых чисел р, q, смогут исчезнуть полностью лишь после слияния с Со или
Cq, что происходит при
4 1 а .
- " = -; или = а + п.
Р а + т И
Это разъясняет взаимоотношения между периодическими решениями и может
быть приложено также к исследованию периодических решений второго рода.
Я предвижу также, однако значительно менее ясным образом, что то же самое
можно было бы использовать для того, чтобы показать, что периодические
решения везде плотны.
Посмотрим теперь, что получается в тех двух частных примерах,
рассмотренных нами выше, а сначала в том из них, в котором
рассматриваются геодезические линии. Предположим, что поверхность очень
мало отличается от сферы; мы видели в этом случае, что замкнутые
геодезические линии без двойных точек1 соответствуют максимумам,
минимумам и минимаксам некоторой величины, являющейся не чем иным, как
длиной большого астрономического круга.
хСм. мемуар "О геодезических линиях на выпуклых поверхностях". А.
Пуанкаре, Избранные труды.
4. Определения и обозначения
127
Число этих максимумов равно Ап + 2, где п - целое число. Однако если не
считать различными две геодезические линии, совершенно идентичные, но
пробегаемые в противоположных направлениях, то мы получим для
геодезических линий нечетное число, равное 2п + 1; именно так я поступал
в указанном мемуаре. Здесь же, наоборот, две геодезические линии,
отличающиеся лишь направлением пробегания, считаются двумя различными
кривыми С. Число замкнутых кривых С, относящихся к этой категории,
следовательно, четно; все они пересекают А в одной точке, за исключением
Со, ограничивающей А. Следовательно, число кривых С, пересекающих А,
нечетно, как это и должно быть. При желании можно подобрать Сд таким
образом, чтобы Со и С'0 соответствовали двум геодезическим линиям,
различающимся лишь по своему направлению.
Если поверхность S сводится к сфере, то кривая Со станет окружностью и в
качестве А можно принять плоскую область, ограниченную этой окружностью.
В ограниченной проблеме будем исходить из случая, для которого
возмущающая масса равна нулю: в таком случае для возмущенного тела будут
иметь место две круговые орбиты, соответствующие уравнению Якоби (см.
выше). Эти орбиты и соответствуют Со и Cq.
§ 4. Определения и обозначения
После того как я объяснил ту роль, которую смогла бы сыграть исследуемая
теорема, если бы она оказалась верной, я должен изложить соображения,
которые побуждают меня верить в ее справедливость. Для этого я возьму
теорему в ее второй форме; иными словами, буду предполагать, что
преобразование Т не оставляет неизменной ни одной точки, и постараюсь
установить, что оно не допускает интегрального инварианта.
Для удобства я буду пользоваться двумя способами представления: иногда
буду применять само круговое кольцо, так что х и у станут полярными
координатами; это то, что я назову круговым изображением. Иногда же буду
рассматривать х и у в качестве ортогональных координат, и предположу,
вопреки обычаю, что ось х вертикальна, а ось у горизонтальна; я буду
называть это спрямленным изображением. Нетрудно перейти от одного
