Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
плоскость перпендикулярна к первому ребру триэдра и только в одной из
этих точек внешняя нормаль будет параллельна этому ребру и иметь то же
направление.
Через эту точку проходит геодезическая линия, причем только одна,
касательная к которой будет параллельна второму ребру триэдра;
направление, по которому мы идем вдоль этой геодезической линии, также
тем самым определено.
Установив это, определим каждый триэдр с помощью кватерниона
Л, /х, гх, р (Л2 + /х2 + г'2 + р2 = 1),
который дает нам вращение, необходимое для того, чтобы привести триэдр из
начального положения, определенного раз и навсегда, в действительное.
Тогда косинус полуугла этого вращения будет равен А, а его синус будет
\//х2 + ь>2 + р2; направляющие косинусы оси вращения пропорциональны /х,
н, р.
Заметим при этом, что два кватерниона: А, /х, v, р и -А, - /х, - н, -р
представляют одно и то же вращение и, следовательно, один и тот же триэдр
и один и тот же элемент.
Положим затем
, _ 1 - ?2 - rf - с2 _ 2?
_i+?2+p2 + c2' i-e+n2 + c2'
= 271 = 2С
17 i+e+v2+c2' р i+e+v2+c2
и представим наш элемент точкой пространства с прямоугольными
координатами ?, р, (. Каждой точке пространства соответствуют две точки
пространства, которые можно вывести одну из другой при помощи инверсии с
полюсом в начале и со степенью, равной -1.
Геодезическая линия, образованная бесконечным множеством подобных
элементов, будет представлена в этом пространстве кривой. Через каждую
точку этого пространства проходит одна и только одна из этих кривых,
причем определенным является и направление прохождения этой кривой. Я
обозначу эти кривые через С.
В случае сферы геодезические линии являются большими кругами, а кривые С
образуют семейство кругов, плоскости которых проходят
118
Об одной геометрической теореме
через начало и степень которых относительно этого начала равна - 1. Два
из этих кругов С не могут встретиться и они всегда сцеплены друг с
другом. В общем случае каждому периодическому решению проблемы, т. е.
каждой замкнутой геодезической линии, соответствует замкнутая кривая С.
В качестве второго примера я возьму частный случай задачи трех тел,
известный под названием ограниченной задачи. Отнесем систему трех тел,
как это делается обычно, к вращающимся осям, и запишем интеграл Якоби
(или интеграл живых сил в относительном движении) в форме
J = c,
где с - постоянная, a J - функция наших четырех переменных, которыми
будут: х и у, координаты возмущенного тела х' и у', составляющие его
скорости. Если рассматривать с в качестве заданной постоянной, то
независимыми будут лишь три из этих переменных.
Можно записать, что
;2 . /2 ?_+"_ + я>
где Я зависит лишь от ж и у. При этих условиях будем иметь
Я < с.
Это неравенство определяет какую-то область на плоскости и в некоторых
случаях, которыми мы ограничимся, эта область /3 ограничена замкнутой
кривой а\ в каждой точке области (3 скорость по величине определена
уравнением Якоби, но направление ее остается произвольным; в каждой точке
кривой а эта скорость равна нулю, так что направление не имеет значения.
Итак, каждой точке (3 соответствует бесконечное количество элементов,
каждой точке а соответствует только один элемент; это и приводит нас к
следующему геометрическому представлению.
Мы можем сопоставить взаимно однозначно области (3 внутренность круга (3а
кривой а - его окружность а'. Установив это, представим себе круг 7,
плоскость которого перпендикулярна плоскости круга /3', а степень его
относительно центра /3' равна квадрату радиуса /3'; он пересечет
плоскость (3' в двух точках, из которых одна будет внутренней, а вторая -
внешней по отношению к окружности а'.
3. Применения теоремы
119
Пусть М будет первой из этих точек, а ж, у - соответствующей точкой
области /3. Тогда мы представим различные элементы с помощью точки
пространства следующим образом: когда представляющая точка будет
описывать круг 7, то х и у будут сохранять постоянные значения,
соответствующие точке М, а угол arctg(у'/х'), определяющий направление
скорости, будет изменяться от 0 до 2тг. Тогда каждой точке /3 будет
соответствовать бесконечное число элементов, представленных различными
точками круга 7. Если точка М находится на о! и, следовательно,
соответствующая ей точка на а, то круг 7 сводится к точке, как и должно
быть, поскольку каждой точке а соответствует только один элемент.
Итак, каждому элементу соответствует одна и только одна точка
пространства1, и наоборот.
Траектория будет представлена кривой двоякой кривизны С; через каждую
точку пространства проходит одна и только одна из этих кривых.
Направление, в котором пробегается эта кривая, также является
определенным. Замкнутые кривые С представляют собой периодические
решения.
Предположим теперь, что в любом из двух предыдущих примеров замкнутая
кривая Со представляет периодическое решение, а поверхность А ограничена
этой кривой.
Будем предполагать, что поверхность А является односвязной и не
