Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 41

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 71 >> Следующая

пересекается сама с собой и, более того, что она без контакта, т. е. что
ни в одной точке этой площади кривые С не касаются искривленной
поверхности, часть которой составляет наша область.
Пусть теперь Р - произвольная точка А\ через эту точку проходит кривая С,
причем только одна; проследим ход этой кривой до тех пор, пока она опять
не встретит А в Р'. Точку Р' можно назвать последующей для Р;
преобразование Т, с помощью которого осуществляется переход от некоторой
точки к следующей, является точечным преобразованием поверхности А самой
в себя. Необходимо заметить, что точка Р' изменяется непрерывным образом,
если непрерывно изменяется Р. Действительно, можно допустить, что
изменение будет прерывным, при одном из следующих обстоятельств.
1. Если, рассматривая последовательные точки Р, Р', Р", Р"',...
пересечения С с 1, мы увидим, что в определенный момент Р' и Р"
1 Пополненного одной бесконечно удаленной точкой. - Прим. ред.
120
Об одной геометрической теореме
совпадут, а затем станут мнимыми, так что с этого момента первой точкой
пересечения С с А будет Р'" а не Р'.
2. Если, наоборот, в некоторый момент времени две новые точки пересечения
Pi и Р2 появятся таким образом, что первым пересечением С и А станет Pi,
а не Р'.
3. Если в некоторый данный момент времени Р' выйдет из области А и первым
пересечением с этого момента окажется Р", а не Р'; или же, наоборот, если
в область А войдет новая точка пересечения Pi, которая включится между Р
и Р'.
Ни одно из этих обстоятельств не сможет представиться в рассматриваемом
положении: первые два потому, что кривая С не может стать касательной к
А, которая лишена контакта; третье благодаря тому, что через некоторую
точку кривой Со, ограничивающей А, никогда не сможет пройти кривая С
иная, чем Со-
Если точка Р сливается с первой следующей за ней точкой Р' или с какой-
либо из последующих, то кривая С окажется замкнутой, а решение -
периодическим. Отметим, кроме того, что преобразование Т допускает
положительный интегральный инвариант в соответствии с принципами,
изложенными мною в другом месте1.
Теперь мы должны ввести понятие характеристических показателей, а также
устойчивости периодических решений. Известно, что всякое периодическое
решение допускает два равных характеристических показателя с
противоположными знаками2. Если периодическое решение устойчиво, то эти
два показателя сопряженные мнимые.
В этом случае мы можем ввести понятие приведенного аргумента ("Новые
методы небесной механики", т. III, п. 347) и понятие кинетических
фокусов, что укажет нам, каким образом изменяется точка Р', когда точка Р
весьма близка к граничной кривой Со- Что же такое кинетический фокус?
Рассмотрим кривую С±, очень мало отличающуюся от Со и представляющую
траекторию или некоторую геодезическую линию, очень мало отличающуюся от
той, которую представляет Со-Пусть Gо и Gi будут две геодезические линии
и две траектории, представленные соответственно кривыми Со и С\.
Для того чтобы написать уравнение кривой С\, мы возьмем специальную
систему координат и, v и w следующим образом:
хСм. "Новые методы небесной механики", т. I, II, III. - Прим. ред.
2См. "Новые методы небесной механики", т. I, гл. IV.
3. Применения теоремы
121
1) координаты некоторой точки рассматриваемой траектории или
геодезической линии зависят только от и и г), тогда как направление
касательной зависит одновременно от и, v и w\
2) уравнениями кривой С будут v = w = 0, а и изменяется от О до 27Г при
полном обходе замкнутой кривой Со-
При этих условиях1 мы увидим, что если кривая Со соответствует устойчивой
траектории, то уравнения кривой С±, весьма мало отличающейся от Со, могут
быть записаны в виде
| = /9sin(# + h), ^ = pi sin(# + h) + р2 cos(# + h),
где auh являются постоянными интегрирования, причем первая из них очень
мала; р, pi, р2 - периодические функции от и; в - функция от и, всегда
возрастающая, производная от которой является периодической. Можно будет
записать, что
в = а и + <р(и),
где <р{и) - периодическая функция; тогда ia есть то, что называют
характеристическим показателем.
Точки пересечения Gi и Go можно получить, приравняв v нулю, что даст
уравнение
в + h = К ж,
где К - целое число. Если М является точкой пересечения Go и G±, а М -
следующей точкой пересечения, то М' называется первым кинетическим
фокусом М, и тогда, если вив' - соответствующие значения в, получим
в - в' = тг.
Напишем теперь уравнение нашей поверхности А в форме
F(u, v, w) = 0;
если мы разложим первый член по степеням v и w, то член нулевой степени
будет равен нулю, так как поверхность А проходит через кривую Gq. Мы
можем пренебречь членами порядка выше первого, так
1См. "Новые методы небесной механики" или мемуар "О геодезических линиях
на выпуклых поверхностях". А. Пуанкаре, Избранные труды.
122
Об одной геометрической теореме
как мы должны придать v и w лишь весьма малые значения, и тогда останется
gv + gi w = О,
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed