Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
140
Об одной геометрической теореме
В качестве второго примера рассмотрим случай дуги АМВ, причем ранги А и В
будут последовательными на рассматриваемом уровне; подобная дуга всегда
является определенной; знак ее опять-таки совпадает со знаком
произведения а (3 7.
§ 10. Контур С
Представим себе некоторый контур С, замкнутый в широком смысле и
образованный исключительно дугами X = х и дугами X = с, причем дуги или
все положительны, или все отрицательны-, направление, в котором
пробегается контур С, задано. Пусть С" - контур, преобразованный из С; он
составлен из дуг (X) = х и дуг х = с.
Я утверждаю, что для того, чтобы установить теорему, являющуюся предметом
настоящего мемуара, достаточно установить существование этого контура С.
Для этого я постараюсь определить индексы контура С - С' относительно
некоторой точки плоскости, но воспользуюсь круговым изображением, чтобы
контуры С и С' были замкнутыми.
Итак, пусть
А± Bi М Д-2 В2 М2 ¦. ¦ Ап Вп Мп А±
- контур С, и
А'1В'1М'1...М'пА'1
- преобразованный из него контур С"; дуги AiBi будут дугами X = х, и для
определенности рассуждения пусть все они положительны; дуги BiMiAi+i
будут дугами X = const, и все они также положительны; дуги А^В[ будут
дугами (X) = х, а дуги В[М[А[+1 дугами х = с. Точки Ai, и A'i (или же Bi,
и В[) находятся на одной и той же высоте на спрямленном изображении, так
что мы можем начертить дуги AiA[ и BiB[, которые будут дугами х = с, т.
е. горизонталями при спрямленном изображении и окружностями при круговом
изображении. Тогда получим
С - С' = А\ Bi В( А^ А\ + Bi Mi Д-2 А*2 М-[ Bi -1- А2 В2 В2 Д2 ^2 Т +В2
м2 А3 А'3 М2 В'2 В2 + ¦ ¦ ¦ + вп Мп Аг А[ М'пВ'пВп.
Действительно, если мы рассмотрим различные слагаемые в правой части, то
увидим, что дуга В\ В[ первого уничтожается дугой В[ В\
10. Контур С
141
второго, а дуга А2 А( второго уничтожается дугой А'2 А2 третьего и т. д.
и, в конце концов, дуга А± А'х последнего уничтожается дугой А\ А{
первого.
Контур А\ Bi В[ А\ аналогичен (если возвратиться к спрямленному
изображению) контуру фигуры; контур В\ Mi А2 А'2 М[ В[ Bi образован дугой
Bi Mi А2 и ее хордой (опять-таки на спрямленном изображении) и т.д. Все
эти контуры положительны, так как дуги А± Вi, В1М1М2,... положительны.
Итак, контур С - С положителен. Я утверждаю: это доказывает, что здесь не
может быть положительного интегрального инварианта. Действительно, пусть
I- подобный инвариант. Пусть I(R) будет тем, что дает этот инвариант,
когда интегрирование распространено на область R.
Контуры С и С разделят плоскость (на круговом изображении) на некоторое
число областей Rf, положим,
I(C) = Y,NkI(Rk), I(C') = Y,N'kI(Rk),
где Nk - индекс контура С и N'k - индекс контура С относительно
произвольной точки области Rk (ясно, что эти индексы будут одинаковыми
для двух точек, принадлежащих одной и той же области Rk). Так как I
является инвариантом, то должно иметь место равенство
1(C) = 1(С').
С другой стороны, так как контур С - С' положителен, то
Nk > К,
причем знак равенства не может иметь места для всех областей, ибо наши
два контура не совпадают; с другой стороны, поскольку инвариант
положителен, то отсюда
l(Rk) > 0
и, следовательно,
1(C) > 1(C),
что противоречиво.
Если, в частности, контур С не имеет двойной точки (на круговом
изображении), то он не сможет пересечь преобразованного контура С,
142
Об одной геометрической теореме
так что один из этих контуров будет находиться целиком внутри другого;
это справедливо для большинства примеров, которые мы рассмотрим ниже.
Кроме контуров С и С', мы рассмотрим другие контуры С" и С'",
определенные следующим образом. Контур С" выводится из контура С заменой
в нем каждой из дуг X = с ее хордой (на спрямленном изображении); контур
же С" будет преобразованным из него, так что
С образуется из дуг X = х и из дуг X = с,
С'
С"
С'"
(Х) = х (Х) = х (Х) = х
X = С,
X = с, (X) = с.
Итак, контуры С"' и С" являются относительно обратного преобразования Г-1
тем же, чем С и С' относительно Т. Действительно, от одного случая к
другому можно перейти, заставив (X) играть роль X, и наоборот.
Я утверждаю теперь, что если дуги, из которых образован С, имеют один и
тот же знак, например, если все они положительны, то те, которые образуют
С'", будут также одного знака, я хочу сказать, что они все будут
отрицательными.
Если А является одной из дуг С, принадлежащей, например, кривой X = х,
положительной и пробегаемой вверх, то преобразованная из нее дуга А!
будет входить в состав С'", причем пробегается также вверх. Однако,
относительно Т-1 она будет принадлежать к отрицательной кривой (X) = х,
действительно, если А', преобразованная из А с помощью Т, находится
справа от А, то А, преобразованная из А' с помощью Т-1, будет находиться
слева от А'.
Пусть теперь AM В - дуга X = с, составляющая часть С, а АВ - ее хорда,
являющаяся частью С". Пусть затем А'М'В' и А'В' дуги, преобразованные из
