Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. Частные случаи
Первый частный случай. Первый частный случай, который нам предстоит
рассмотреть, это случай нормального распределения, т. е. тот,
12. Частные случаи
145
когда точки пересечения каждой из кривых х = с с соответствующей кривой X
= с распределены нормальным образом в смысле § 4. Иначе, что сводится к
тому же, этот тот случай, когда номер каждой ветви равен ее рангу (и
когда, следовательно, нет ни обратного основания, ни обратной вершины).
В этом случае я утверждаю, что наша сеть не содержит тупика и что,
следовательно, можно построить контур С. Действительно, если мы
рассмотрим кривую X = с, то эта кривая не будет содержать никакой
определенной дуги, кроме элементарных дуг, которые одновременно будут
первичными и конечными и которые попеременно будут положительными и
отрицательными (если договориться пробегать X = с в направлении
возрастающих Y). Исключение будет, когда кривая х = с коснется кривой X =
с и, следовательно, кривой X = х в основании или в вершине.
Действительно, в этом случае две из точек пересечения сольются,
элементарная дуга, соединявшая одну и другую, исчезнет, так что мы
получим две последовательные дуги одного и того же знака. Это значит, что
из двух горизонтальных путей, которые заканчиваются в основании или в
вершине, один удаляется от такой точки, а второй приближается к ней.
Итак, здесь не может быть тупика в узле, не являющемся ни основанием, ни
вершиной, так как один из двух наклонных путей, которые там
заканчиваются, удаляется; однако его не может быть также в основании или
в вершине, так как один из двух горизонтальных путей, которые там
заканчиваются, удаляется.
Второй частный случай. Предположим, что у нас есть лишь два вида кривых X
= х: кривые L, примыкающие к внешней окружности х = а, и кривые К,
примыкающие к х = Ъ.
Предположим, что, пробегая кривые L от одного конца до другого, мы
встретим ветви постоянно возрастающего ранга, и что так же обстоит дело
при пробегании кривых К. (Это случится, в частности, если мы предположим,
что ни в одной точке кривых L и К касательная, при спрямленном
изображении, не будет вертикальна.)
Установив это, мы сможем построить контур С' следующим образом: пусть L'
и К' преобразования кривых L и К- при пробегании кривой L слева направо
(на спрямленном изображении), все ветви, пробегаемые вниз, будут,
например, четными (т. е. четного номера или ранга), а все те, которые
будут пробегаться вверх, окажутся нечетными; для кривых К все будет
наоборот.
146
Об одной геометрической теореме
Кривые L смогут иметь лишь четные основания и нечетные вершины,
следовательно, у них не будет ни обратного основания, ни обратной
вершины, т. е. здесь номера следуют в том же порядке, что и ранги. Если,
наоборот, окажется, что на кривых L нисходящие ветви нечетны, а на кривых
К они окажутся четными, то в случае кривых К номера будут следовать в том
же порядке, что и ранги; однако будем считать, что перед нами первый
случай.
Теперь я предположу (оставаясь при спрямленном изображении) что кривые V
- светящиеся, а кривые К - матовые; кривые L будут светиться, но ни одна
из их точек не будет испускать свет во всех направлениях; она сможет
испускать свет лишь горизонтально (направо если кривые L отрицательны, а
кривые К положительны, налево - в противоположном случае). Все происходит
так, как если бы в каждой из этих точек находился маленький
параболический рефлектор, отбрасывающий пучок параллельных лучей. При
этих условиях часть плоскости будет освещена, а часть окажется в тени.
Граница тени и будет не что иное, как контур С'. Я не привожу
доказательства, так как оно длинное.
Третий частный случай. Имеются лишь два вида кривых X = х: кривые L,
примыкающие к х = а, кривые К, примыкающие к х = Ъ. На каждой из этих
кривых, при пробегании их слева направо, встречаются ветви с постоянно
возрастающими номерами.
Этот случай по отношению к Т-1 составляет то же, что второй по отношению
к Т. Следовательно, можно построить контур С" (из которого можно получить
С и С"), рассматривая кривые К, например, как матовые, тогда как кривые L
будут испускать горизонтальные световые лучи в подходящем направлении.
Границей тени будет контур С".
§ 13. Пояснения к рисункам
Кроме трех случаев, рассмотренных в предыдущем параграфе и обладающих
некоторой общностью, я изучил также большое число частных случаев, и мне
всегда удавалось построить контуры С, С', С", С'". Не приходится и думать
о том, чтобы привести здесь все эти случаи; некоторые примеры
представлены на приложенных здесь рисунках, которые нуждаются в
нескольких пояснениях.
Я использовал спрямленное изображение; мы знаем, что на этом изображении
кривые воспроизводятся периодически, так как когда у переходит в у + 2тг,
получаются те же фигуры; я давал только один период, и нетрудно добавить
другие.
13. Пояснения к рисункам
147
Контур, представленный на каждом рисунке, - контур С", образованный
