Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
выступить перед ученой аудиторией с докладами по различным вопросам
чистого анализа, математической физике, теоретической астрономии и
философии математики; прочитанные мной по этому случаю публичные лекции
были записаны несколькими студентами, которые любезно исправили
многочисленные погрешности, допущенные мной против немецкой грамматики.
Выражаю им мою искреннюю признательность.
Пользуясь случаем, приношу читательской аудитории свои извинения за
краткость, с которой были рассмотрены затронутые мной проблемы. Я
располагал лишь весьма ограниченным временем и по большей части мог
изложить лишь основную идею полученных результатов и основные принципы,
на которых основаны доказательства, не вдаваясь в детали самих
доказательств.
Доклад первый Об уравнениях Фредгольма
Как известно, решением интегрального уравнения
ъ
<р{х) = X Jf{x, у)<р(у) dy+ ф(х) (1)
служит интегральное уравнение того же рода
ь
ip(x) = ф{х) + A J il)(y)G{x, у) dy, (la)
а
где
г,, ч N(x, У, А | /)
Gi*' "> = D(X\f) ¦
Из теории Фредгольма мы знаем, что N и D - две целые трансцендентные
функции от А. Чтобы выписать их разложения в явном виде,
(3/1 Хо , , , X \
обозначим, следуя Фредгольму, через /I ' ' ''' ' " n-рядный де-
.2/1, 2/2, ••• , уп/ терминант, общий элемент которого есть /(ж*, уи)-
Полагая
ъ ь ъ
, Х2 5 • • • 5 Х1
а а а
получаем
°° (___\\п
о
Преобразуем это уравнение, образуя с помощью "итерации" ядро, возникающее
из /(ж, у). Если положить
f (Ха,*> Х{$) f (ж^, X• • • f {Х\ь Хц) f (Жд, Х<х) - f (жа, Xfi . . . ,
Жд, Жд),
Об уравнениях Фредгольма
153
то ясно, что /I ) примет вид
Е±П/(^ ••• '
как следует непосредственно из разложения детерминанта. Пусть
ъ ь
bk - ... J* f(xa, •. • , dxa ... dx^,
а а
где к означает число переменных интегрирования. Тогда как нетрудно
видеть, мы можем также положить
ь
h = J fk(x, х) dx,
а
если под
ь ь
fk(x, у) = f(x, ха) f(xa, Хр)... f(x\, у) dxa ... dx А
а а
понимать fc-кратно интегрированное ядро.
В силу выписанных выше соотношений имеем:
ап = Е ^ ТТ Ьк-
Заметим, что некоторые из величин Ьк, входящих в произведение И Ьк, могут
оказаться равными и что, кроме того, некоторые из произведений И Ьк также
могут оказаться равными, а именно те, которые получаются одно из другого
при перестановке ж*, в результате чего из комбинаторных соображений для
ап получается выражение вида
? a.^,",'aiMc!,J<-1),,+lb"]"[(-1)9+1^]t[(-ir+4]c-,
аа + Ь(3+С'у+...=п
а также
154
Доклад первый
то есть оо л"ь"
D(X) = Y[e~ - , (2)
1
и, следовательно,
\оси
lo gD(A) = -?^, (2а)
т = <">
Числитель N(x, у; А) функции (?(#, у; А) можно определить соотношением
N(x, y,\)=D(\)-Y/bhfh+i(x, У). (3)
Эти соотношения, установленные еще Фредгольмом, весьма полезны в качестве
исходного пункта многих рассмотрений, которые мы продемонстрируем лишь на
нескольких примерах.
Метод Фредгольма непосредственно применим только к таким ядрам f(x, у),
которые остаются конечными. Если ядро в некоторых точках обращается в
бесконечность, то может представиться случай, что какое-то итерированное
ядро, например, fn(x, у), остается конечным. В этом случае интегральное
уравнение с итерированным ядром может быть решено по методу Фредгольма,
и, как показал Фредгольм, первоначальное интегральное уравнение (1) может
быть сведено к такому уравнению с итерированным ядром. Решение также
дается формулой вида (1а), только на этот раз следует положить
= N±(x, у, А)
Dn( А) '
где
Dn{А) = D(Xn | /")
И
Ni{x, у, А) = Dn{А) • У]Аhfh+1(x, у).
При этом Ni и Dn - снова целые трансцендентные функции от А; однако
оказывается, что они обладают общим делителем; мы хотим показать, каким
образом это следует из наших формул (2) и (3) и как получить
представление мероморфной функции G в виде дроби, числитель и знаменатель
которой - целые функции, не имеющие общего делителя.
Об уравнениях Фредгольма
155
Из нашего предположения относительно итерированных ядер следует, что
коэффициенты Ьп, Ъп+1,... конечны. Если теперь мы, следуя соотношению
(2а), образуем ряд
7yf\\ \П^П 1П+1 Ьп+1
к (Л) п л п+1
то этот ряд сходится. Положим теперь
п, ^ eKY,*hfh+i
G(x, у; Л) = ------- ;
мы утверждаем, что эта формула дает требуемое представление.
Чтобы доказать это, необходимо убедиться в том, что ек и ек ^2 \h+1 fh+i
- целые функции.
Для этого образуем Нетрудно вычислить, что
С1Л
- т=*+ff Hi ^ - *•
a а а
Отсюда мы заключаем, что - мероморфная функция от Л, так
С1Л
как она обладает самое большее полюсами в нулях знаменателя Dn(А), т. е.
в точках Л = а ¦ Aj, где а - корень п-й степени из единицы, а А* -
собственное значение ядра Можно показать, что в этих возможных точках
расходимости вычет Коши производной равен 1 или О
С1Л
в зависимости от того, выбрано ли значение а = 1 или а ф 1. Мы не станем
приводить здесь соответствующие вычисления; воспользу-
емся тем, что при А = А k вычет функции -AJ'-- равен (pk(x)ipk(y)i
Un
где (ркНк - соответствующие А = Хк собственные функции, удовлетворяющие
