Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 52

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 71 >> Следующая

дугами X = х и дугами х = с, представленными горизонтальными отрезками.
Граничные горизонты х = а и х = Ъ даны сплошными линиями так же, как и
контур С"; наоборот, часть кривых X = х, не входящих в состав С", дана
пунктиром. Цифра, находящаяся около каждой ветви X = х, является ее
номером. Около каждой кривой X = х стоит знак + или -, в зависимости от
того, положительна ли она или отрицательна.
Нетрудно проверить на каждом рисунке, что шесть условий § 8 выполнены;
для проверки первого условия можно сделать сечение произвольной
горизонталью и получить таким образом последовательность номеров в
определенном порядке, учитывая лишь ветви, пересеченные этой
горизонталью; затем станет видно, что если начертить кривую, которая
пересечет горизонталь в соответствии с порядком номеров точек
пересечения, то эта кривая не будет самопересекаться.
Что касается второго условия, то можно установить, например на рис. 14,
что в вершине 63 сходятся ветви 6 и 3, но что поскольку вершина 45
находится ниже, то горизонталь вершины 63 не встретится с ветвями 4 и 5,
что на этом уровне номера 6 и 3 окажутся последовательными.
Относительно третьего условия: можно увидеть, например на рис. 8, что
основание 98, являющееся обратным, нечетное, тогда как вершина 87, также
обратная, четная.
Я не буду останавливаться ни на четвертом, ни на пятом условии, проверить
их соблюдение легко. Что касается шестого условия, то возьмем для примера
рис. 21; здесь мы видим, что ветви 8 и 7 положительны, а ветви 3, 6, 5, 4
- отрицательны; ранг первых двух меньше, но поскольку это ветви самого
большого номера (и самого маленького ранга) и они положительны, то
условие выполнено.
Предположим, что наш контур пробегается слева направо. В этих условиях
дуги X = х, составляющие часть С", и дуги х = с того же самого контура
или, скорее, соответствующие дуги X = с, оказываются все определенными и
одного знака, а именно:
они положительны на рис. 5-7, 10, 11, 18, 20, 23;
они отрицательны на рис. 8, 9, 12-17, 19, 21, 22, 24.
Действительно, например, на рис. 5 можно видеть, что положительные ветви
X = х пробегаются с подъемом, а отрицательные - со спуском.
148
Об одной геометрической теореме
В
/ +
Рис. 5
ti
2/
/ 7
"'Г'\
3!
Рис. 13
§ 13. Пояснения к рисункам
149
т+-------+7-;
\ i /
Vl 2/ 34
/ 7Ч-'б 54 А
Рис. 19
Рис. 20
150
Об одной геометрической теореме
С другой стороны, дуги х = с или, скорее, соответствующие дуги X = с,
вполне определенны. Рассмотрим, например, рис. 5. Здесь мы видим три
горизонтали; первую, я ее обозначу 12, которая идет от ветви 1 к ветви 2;
вторую, которая идет от 3 к 4; третью, которая выходит от ветви 5, и, в
случае продолжения, пошла бы к ветви под номером 6 (не представленной на
рисунке), отличающейся на один период от ветви под номером 0. Эта
горизонталь заканчивается на рисунке в А, но ее следовало бы дополнить
горизонтальным отрезком, который отличался бы на период от изображенного
на рисунке, который идет от точки В к ветви 0. Все эти горизонтали
соответствуют элементарным дугам, и, следовательно, являются
определенными, так как номера их концов последовательны. То же самое
будет и для рис. 8, например, для горизонтали 25, так как номера 2 и 5
являются последовательными на уровне этой горизонтали, которая не
пересекает ветвей 3 и 4.
Рассмотрим теперь рис. 9. Если продлить горизонталь 69, то она пересечет
некоторые ветви X = х, но ни одной точки пересечения не окажется между 6
и 9; следовательно, ранги концов являются последовательными на
рассматриваемом уровне. Итак, соответствующая дуга опять-таки оказывается
определенной. На рис. 19 горизонталь 10.13, которая идет от ветви 10 к
ветви 13, отличаясь от ветви 1 на один период, тоже соответствует
определенной дуге; действительно, между концами 10 и 13 находятся точки
пересечения 5 и 4, но их номера не заключаются между 10 и 13. Отсюда
следует, что соответствующая дуга X = с не пересекает своей хорды (на
спрямленном изображении).
Остается определить знак этих разных дуг. Я возьму в качестве примера
рис. 8; дуга 25 отрицательна, так как она пробегается слева направо, а 2
- четно и < 5; 67 отрицательна, так как она пробегается слева направо, а
6 четное и < 7; 78 отрицательна, так как она пробегается влево, а 7
нечетно и < 8; наконец, 10.11 отрицательна по тем же причинам, что и 25 и
67.
Рис. 5-7 соответствуют первому частному случаю § 12 (нормальное
распределение); рис. 8 и 9 соответствуют третьему случаю § 12; здесь
легко распознаются контуры тени, определенные в том параграфе; рис. 10,
11 и 20 соответствуют второму случаю § 12; рис. 10 и 11 выводятся из 8 и
9 переходом от Т к обратному преобразованию Т-1. Наконец, рис. 12 и 13
показывают, как контуры тени § 12 должны видоизменяться при появлении
островов, т. е. кривых X = х, замкнутых в узком смысле.
ГЕТТИНГЕНСКИЕ ЛЕКЦИИ
Предисловие
Геттингенский университет обратился ко мне с лестным предложением
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed