Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
первых, и соответственно являющиеся частями С" и С'". Тогда АВ и А'М'В'
составят часть кривой х = с, а А'В' - часть кривой (X) = с, так что на
спрямленном изображении АВ окажется хордой АМВ, тогда как А'М'В' станет
хордой А'В'. Если затем контур АМВА, образованный АМВ и ее хордой,
положителен, то положительным будет и преобразованный из него контур
А'М'В'А', а обратный контур А'В'М'А', образованный дугой А'В' и ее
хордой, будет отрицательным. Это и следовало доказать.
11. Сеть
143
Таким образом, очевидно, что если С - С' является положительным, то то же
самое будет и с С" - С""; следовательно, безразлично, рассматривать ли С,
С' и Т или же С'", С" и Т-1.
§ 11. Сеть
Представим себе сеть, построенную следующим образом: возьмем круговое
изображение, начертим, кроме граничных окружностей, окружности х = с,
которые касаются (либо в вершине, либо в основании) кривой X = х. Каждая
из этих окружностей пересечет различные кривые X = х и коснется одной из
них. Каждой из точек пересечения или касания будет соответствовать узел
сети. Соединим эти узлы путями, соответствующими определенным дугам, о
которых шла речь в § 9. Рассмотрим, например, одну из окружностей х = с,
которые мы начертили; вычертим пути, соответствующие всем положительным и
отрицательным дугам соответствующей кривой X = с. (Итак, мы получим пути,
соответствующие всем элементарным дугам этой кривой, которые, как мы уже
сказали, все являются определенными; среди них будут пути,
соответствующие всем дугам этой кривой, концы которых имеют
последовательные номера на рассматриваемом уровне; но будут еще и другие
пути, так как вообще есть и другие определенные дуги.) Это будут
горизонтальные пути сети. Мы соединим, сверх того, узлы х = с с узлами на
окружности непосредственно внешней или непосредственно внутренней с
помощью наклонных путей. Эти последние будут соответствовать определенным
дугам кривых X = х, один из концов которых будет находиться в одном из
таких узлов.
Условимся, что ни один из этих путей нельзя пробегать в двух
направлениях, иначе говоря: или все направления путей соответствуют
положительной дуге, или же все они пробегаются в противоположном
направлении. Вот как мы проведем выбор между этими двумя соглашениями:
ветви X = х, которые примыкают к внешней граничной окружности х = а,
имеют один и тот же знак (ср. § 3), тогда как те, которые примыкают к х =
Ъ, имеют противоположный знак. Если все первые положительны, то мы
условимся, что все пути должны пробегаться в направлении положительных
дуг; в противоположном случае будет иметь место обратное.
Итак, всякий наклонный путь, примыкающий к х = b (который соответствует
при спрямленном изображении самому низкому уровню, а при круговом
изображении - внутренней граничной окружное-
144
Об одной геометрической теореме
ти), должен пробегаться вверх; всякий наклонный путь, примыкающий к х =
а, пробегается вниз.
Для того чтобы наша теорема оказалась справедливой, т. е. для того чтобы
существовал контур С, достаточно, чтобы можно было вернуться к исходной
точке, пройдя пути сети в предписанном направлении.
Отсюда вытекает следующее правило: назовем тупиком любой узел сети, к
которому сходятся некоторые пути, но из которого не выходит ни один путь.
Исключим из нашей сети все тупики, а также все пути, попадающие в них.
Может случиться, что измененная таким образом сеть будет содержать
тупики, которые не принадлежали к первоначальной сети. Мы будем
оперировать с этими индуцированными тупиками так, как с первичными, и
продолжим наше оперирование, пока не вынуждены будем остановиться, что
может произойти в двух случаях.
1. Может оказаться, что мы вынуждены остановиться, ибо придем к
модифицированной сети, которая более не будет содержать тупиков, ни
индуцированных, ни первичных. В этом случае наша теорема будет доказана
для рассмотренного преобразования Т. Действительно, будем исходить из
какого-либо узла: это возможно, так как это не тупик; мы прибудем ко
второму узлу, откуда опять-таки сможем выйти. Будем продолжать таким
образом до тех пор, пока не вернемся к узлу, через который мы уже
проходили, что должно произойти, так как число узлов конечное. Таким
образом, мы опишем замкнутый контур, пробегая все пути в соответствии с
предписанным направлением, и этот контур будет контуром С.
2. Может случиться, что мы остановимся, так как исчерпаем все узлы. Тогда
можно было бы доказать, что существуют такие преобразования Т, для
которых наша теорема не справедлива.
Итак, мы должны действовать следующим образом: необходимо построить всеми
возможными способами кривые X = х, соблюдая при этом условия §8; затем мы
построим сеть, определенную выше, и будем действовать с нею описанным
порядком. Если в любом случае мы вынуждены будем остановиться в
соответствии с первым случаем, то наша теорема справедлива; но даже одно-
единственное исключение достаточно для доказательства ее неверности.
