Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
точек пересечения будет нормальным в смысле § 5.
5. Две ветви, принадлежащие одной и той же кривой, и, в частности, две
ветви, попадающие в одну и ту же вершину или в одно и то же основание,
должны быть одинакового знака.
6. Мы видели, что если одна ветвь X = х положительна, то преобразованная
из нее (X) = х должна располагаться справа от нее. Итак, пусть даны ветви
А и В кривой X = х; предположим, что они "обратим", т. е., что номер А
больше номера В, а ранг А меньше ранга В, и что они, кроме того, имеют
противоположные знаки. Тогда необходимо, чтобы А было положительным, а В
отрицательным. Не может случиться, чтобы А оказалось отрицательным, а В
положительным; если бы это имело место, А оказалась бы справа от своей
преобразованной Аа В - слева от своей преобразованной В'-, но этого не
может случиться: А слева от В, так как ее ранг меньше, а А' справа от В',
так как номер А больше.
§ 9. Положительные и отрицательные дуги
Для того чтобы продолжить рассуждения, я введу новое понятие. Рассмотрим
замкнутый контур С, пробегаемый в определенном направлении движущейся
точкой Р, и точку М; коэффициентом контура С будет число т, если угол
вектора МР с фиксированным направлением увеличивается на 2т ж, когда
точка Р описывает целиком
138
Об одной геометрической теореме
контур С. Углы отсчитываются в направлении, противоположном принятому в
тригонометрии. Контур будет положительным, если его коэффициент по
отношению к произвольной точке плоскости всегда положителен или нуль; он
будет называться отрицательным, если этот коэффициент всегда отрицателен
или нуль; он будет определенным, если окажется или положительным, или
отрицательным.
Пусть ABCDA и ECBFE - два замкнутых контура. Можно объединить их,
исключая общие части ВС и СВ, которые в обоих составляющих контурах
пробегались в противоположных направлениях; в результате этого получится
контур ABFECDA. Можно записать
ABCDA + ECBFE = ABFECDA
или
ABCDA = ABFECDA - ECBFE.
Так мы определим сумму или разность двух контуров; подобно этому, можно
было бы определить сумму и разность и нескольких контуров. Очевидно, что
если один контур является суммой нескольких других, то его коэффициент по
отношению к произвольной точке М равен сумме коэффициентов составляющих
контуров.
Определим теперь знак дуги X = х или дуги X = с. Дуга X = х положительна,
если она принадлежит положительной ветви, пробегаемой с подъемом, или
отрицательной ветви, пробегаемой со спуском; она отрицательна, если
принадлежит отрицательной ветви, пробегаемой с подъемом, или
положительной ветви, пробегаемой со спуском. Слово "положительная" не
имеет, следовательно, одного и того же смысла в рассуждениях о ветви и о
дуге, так как в случае ветви (ср. § 4) знак не зависит от направления
движения.
Пусть АВ - положительная дуга, принадлежащая положительной ветви X = х,
пробегаемой с подъемом, как это показано стрелкой на рис. 3.
Преобразованная из нее дуга А'В', следовательно, находится справа от нее;
замкнем контур АВВ'А'А, проведя горизонтали ВВ' и А'А (это - горизонтали
спрямленного изображения, уравнение которых есть х = const). Очевидно,
что определенный таким образом контур положителен, что и оправдывает
название положительной дуги.
Можно обобщить это и ввести понятие дуг X = х, компенсированно
положительных или отрицательных.
§9. Положительные и отрицательные дуги
139
В
В'
А
А'
А
А'
D
D'
Рис. 3
Рис. 4
Пусть дана дуга DCBA, принадлежащая положительной кривой X = х, и пусть
на этой дуге имеем обратную вершину С и обратное основание В, причем так,
что А находится над D, тогда как С и В расположены на промежуточной
высоте; дуга эта пробегается в направлении, показанном стрелкой. Тогда
можно построить преобразованную дугу D'C'B'A', которая расположена так,
как показано на рис. 4, и замкнуть обе дуги горизонталями АА' и D'D.
Ясно, что контур DCBAA'B'C'D'D положителен, и дугу DCBA мы назовем ком-
пенсированно положительной. Ниже мы все же не будем пользоваться
компенсированно положительными дугами.
Перейдем теперь к дугам X = с. Пусть АМВ - одна из этих дуг, пробегаемая
в направлении АМВ.
Рассмотрим на спрямленном изображении хорду В А этой дуги, которая
принадлежит горизонтали х = с, если, как мы это предполагаем, концы А и В
будут точками пересечения X = с и х = с. Рассмотрим контур АМВ А,
образованный этой дугой и ее хордой. Дугу мы назовем определенной,
положительной или отрицательной, в зависимости от того, определенным,
положительным или отрицательным является сам контур.
Элементарные дуги всегда являются определенными; знак дуги АМВ тот же,
что и знак произведения а (3 7, где:
а = +1, если номер и ранг А нечетные, и а = -1, если они - четные;
/3 = +1, если ранг А меньше ранга В, и (3 = -1 в противоположном случае;
7 = +1, если номер А меньше номера В, и 7 = -1 в противоположном случае;
действительно, дуга АМВ пробегается слева направо, если (3 = +1; она
находит над своей хордой тогда, когда а 7 = +1.
