Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 55

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 71 >> Следующая

относительно ряда
X] f e~tpyf(m, у) dy (5)
(Р,пг) 0
предположение о его абсолютной и равномерной сходимости, окажется
полностью аналогичным фредгольмову решению интегральных уравнений и,
подобно этому решению, будет мероморфной функцией параметра А. Но, как
показывает интегрирование по частям, равномерная и абсолютная сходимость
ряда (5) имеет место, если сумма
z)
(m)
или интеграл
Т оо
J z) dx
- ОС
сходятся абсолютно и равномерно.
Отчетливо видны сходство и различие двух случаев - (1) и (2): в
зависимости от того, бесконечны или конечны пределы интегрирования, или
от того, имеет ли ядро в пределах интегрирования сингулярность достаточно
высокого порядка или не имеет сингулярности, "заданную" функцию можно
выбирать по существу произвольным образом или приписывать ей бесконечный,
но дискретный ряд значений. Было бы небезынтересно исследовать различие
между случаями (1) и (2) с помощью итерирования ядра.
Доклад второй Приложение теории интегральных уравнений к морским приливам
Сегодня я хочу поговорить о некоторых приложениях теории интегральных
уравнений к морским приливам. В прошлом семестре я прочитал об этом
явлении лекцию.
Дифференциальные уравнения задачи имеют следующий вид
< ^ дх\ дх) \дх ду ду дх) (1)
Ь) g-C = -AV + II + W.
При этом мы предполагаем, что сферическая поверхность Земли с помощью
стереографической поверхности конформно отображена на (ж, у) - плоскость;
к(х, у) - коэффициент подобия между плоскостью и сферой. Решение задачи о
приливах мы намереваемся представить в виде периодических функций времени
t и специально предполагаем, что наши уравнения (1) соответствуют
единственному периодическому слагаемому вида A cos(Ai + а), так что А в
наших уравнениях определяет период колебаний; удобно ввести вместо
косинуса комплексные экспоненциальные величины и тем самым предположить,
что все наши функции имеют вид
еШ • fix, у)]
действительная и мнимая части такого комплексного решения дают нам
решения, имеющие физический смысл.
Функция (р(х, у) определяется из соотношения
-А V = V -р,
где V - гидростатический потенциал, р - давление.
162
Доклад второй
Если h - глубина моря, то пусть по определению
h\2
- А2 + 4ш2 cos2 ё '
2u)i cos ё i г • т,
где г - мнимая единица, ё - широта точки на поверхности Земли,
соответствующей точке (ж, у), и> - угловая скорость Земли, С(ж, у) -
разность между толщиной среднего и возмущенного слоя воды, т. е. С > 0
соответствует отливу, ? < 0 соответствует приливу.
Пусть g - ускорение силы тяжести, W - потенциал возмущающих сил, Н -
потенциал, обусловленный притяжением массы воды толщиной Например, если
где Хп - шаровые функции.
Единицы измерения выбраны так, что плотность воды равна единице и радиус
Земли равен единице.
Величиной П в большинстве случаев можно пренебречь; если это сделать, то
для <р сразу же получается дифференциальное уравнение в частных
производных второго порядка. Чтобы оно определяло ip, необходимо знать
некоторые краевые условия. Мы различаем два случая:
1. Море обнесено вдоль береговой линии вертикальной стеной.
В этом случае
др др
где 77 нормальная, а 77 тангенциальная производные от <р.
on os
2. Ераница моря не вертикальна. Тогда на ней
( = '?ЛпХп,
то
h = 0 и, следовательно, hi = /г2 = 0.
В этом случае краевое условие означает, что функция (р на границе должна
оставаться регулярной и конечной.
Приложение теории интегральных уравнений
163
Чтобы применить к этим задачам методы интегральных уравнений, прежде
всего вспомним некоторые общие положения, установленные Гильбертом и
Пикаром для дифференциальных уравнений. Пусть
D(u) = f{x, у)
- дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для и
эллиптического типа. Тогда существует удовлетворяющее определенным
краевым условиям решение и, представимое в виде
и =
I f G da',
где G{x, у, х', у') - функция Грина дифференциального выражения D(u),
соответствующая этим краевым условиям; f - функция f(x', у'), da' = dx'
¦dy', и интеграл берется по той области плоскости (х', у'), для которой
поставлены краевые условия. Чтобы вычислить функцию Грина и тем самым
решить краевую задачу, положим
D(u) = D0(u) +Di(u),
где
7э / \ ди . I ди .
L>i{u) = а-^ + + си
- линейное дифференциальное выражение. Предположим, что функция Грина Gо
дифференциального выражения Do(u) нам известна. Тогда мы имеем решение
уравнения
D(<p) = f
вида
Выделив отсюда с помощью интегрирования по частям производ-др1 др!
ные 7-7, --мы тотчас же приходим к интегральному уравнению
дх ду
второго рода для (р, которое может быть решено методом Фредгольма, если
ядро не слишком сингулярно.
164
Доклад второй
В интересующей нас проблеме приливных течений имеет место именно случай
сильной сингулярности; ядро обращается в бесконечность столь высокого
порядка, что метод Фредгольма становится неприменимым, однако я хочу вам
показать, каким образом можно преодолеть эти трудности.
Рассмотрим сначала случай первого граничного условия
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed