Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
могут проникнуть кривые X = х. Область, заключенная между элементарной
дугой НК кривой X = с, и дугами, перекрываемыми ею (в смысле § 5),
является дозволенной, если НК - обратна, и запрещенной при прямой НК.
Установив это, возьмем какую-либо вершину S' на какой-либо кривой X = х;
пусть х = с будет горизонталь, расположенная под этой вершиной и
пересекающая X = х в точках А и В, очень близких к этой вершине. Пусть
АМВ - элементарная дуга кривой X = с, которая идет от А к В, и R -
область, заключенная между этой дугой и горизонталью АВ. Если эта дуга
является обратной (т. е., если обратная вершина S), то область R
дозволенная, а сопредельные области запрещенные, так что дуга ASB кривой
X = х должна пересечь эту область, которая таким образом оказывается
разделенной на две частичные области AMBS и ASBA.
В первой области мы будем иметь х > X > с, а во второй X > х > с;
следовательно, ветвь AS, ограничивающая слева область X > х, имеет четный
номер, иначе говоря, вершина S является четной. Итак, не может быть
нечетных обратных вершин, и, как видим, не может быть также четных
обратных оснований.
С другой стороны, нетрудно обнаружить, что самая высокая вершина любой
кривой X = х всегда прямая; то же самое можно сказать и относительно
самого низкого основания.
Пусть, в самом деле, R - область, охваченная кривой X = х, если эта
кривая замкнута в узком смысле, или же заключенная между этой кривой и
горизонталью х = Ъ (соответствующей на круговом изображении внутренней
граничной окружности). Пусть R' преобразовано из R, пусть S - наиболее
высокая вершина нашей кривой; преобразованная из нее S' будет самой
высокой вершиной кривой (X) = х, которая ограничивает R'. Пусть М -
точка, описывающая контур области R, причем область остается справа;
преобразованная из нее М' опишет контур R', также оставляя эту область
справа; когда М попадет в S, она будет двигаться слева направо, так как S
является наиболее
М
Рис. 2
136
Об одной геометрической теореме
высокой точкой контура R; в это же мгновение М' попадет в S' и, в силу
тех же соображений, будет двигаться слева направо. Сказать, что эти две
точки движутся в одном и том же направлении, означает, что вершина
является прямой. Это и требовалось доказать.
§ 8. Условия возможности
Итак, преобразование Т характеризуется следующими данными, которые
нетрудно распознать на спрямленном изображении.
1. Формой кривых X = х, числом и расположением ветвей каждой из них,
относительной высотой различных вершин или оснований. Когда задаются
формой кривых, ранг каждой ветви оказывается определенным, так как он
зависит только от относительного геометрического положения ветвей.
2. Номером каждой ветви.
3. Знаками каждой из кривых X = х, которые могут быть положительными или
отрицательными в смысле §4.
Эти данные, однако, нельзя выбрать произвольно: они должны удовлетворять
некоторым условиям, которые я и перечислю.
1. Предположим, что кривые X = х пересечены произвольной горизонталью
х = с. Эта горизонталь не пересечет всех ветвей кривых; но если мы
выпишем номера ветвей, пересекаемых ею, в том порядке, в котором она
встречается с ними, или, что то же самое, в порядке рангов, то получим
бесконечную последовательность.
Каждой из пересеченных ветвей соответствует одна из точек пересечения X =
с и х = с; номер этой ветви вообще не равен номеру этой точки
пересечения, так как ряд номеров имеет пропуски, соответствующие ветвям,
не пересеченным кривой х = с, в то время как ряд номеров точек
пересечения таких пропусков не имеет. Однако эти два ряда номеров следуют
друг за другом в одном и том же порядке (таким образом, что можно перейти
от одного к другому, "смыкая ряды"). Итак, первый из этих рядов, так же
как и второй, должен удовлетворять условию § 5, которое можно
сформулировать следующим образом.
Рассмотрим ряд номеров, которые попеременно четны и нечетны; отметим в
нем две пары последовательных номеров, таких, что в каждой из них первый
номер будет четным, а второй - нечетным. Эти две пары не должны
налагаться одна на другую в смысле § 5; то же
§9. Положительные и отрицательные дуги
137
самое должно иметь место и для двух пар последовательных номеров, в
которых первый номер нечетный, а второй четный.
2. Номера и ранги двух ветвей, которые сходятся в какой-либо вершине или
в каком-либо основании, должны быть последовательными на уровне этой
вершины или этого основания, в смысле §6.
3. Не должны встречаться ни четное обратное основание, ни нечетная
обратная вершина.
4. Вблизи граничных горизонталей х = а и х = Ь номера различных ветвей
должны следовать друг за другом в том же порядке, что и их ранги. И
действительно, X = а, например, совпадает с х = а. Итак, если с близко к
а, то X = с будет мало отличаться от х = с, и при этом любая касательная
к X = с будет всегда составлять весьма малый угол с горизонталью х = с, а
когда две замкнутые кривые мало удаляются друг от друга, распределение их
